Supongamos que la cámara apunta a un reloj a bordo de la nave espacial. ¿A qué ritmo vemos que el reloj corre? Bueno, hay dos factores que debemos tener en cuenta. Una es la dilatación del tiempo, como usted menciona: cuando un objeto se mueve a velocidades relativistas en relación con usted, ve que sus relojes se mueven lentamente.
El otro factor es el efecto Doppler. Eso dependerá de la dirección en que se mueva la nave espacial. Si se aleja de nosotros, entonces el efecto Doppler ralentizará aún más los relojes, ya que la señal de cada tic del reloj tiene que viajar más que la señal de la señal anterior marcó. Eso significa que se retrasará, haciendo que parezca que el reloj avanza más lento. Si la nave se mueve hacia nosotros, sucederá lo contrario y el reloj parecerá hacer clic más rápido. (Si se mueve en ángulo, el efecto estará en algún punto intermedio).
Entonces, ¿qué tan grandes son esos dos efectos? Obviamente, es una función de la velocidad. La fórmula para la dilatación del tiempo es:
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[matemáticas] t ‘= \ frac {t} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]
Donde v es la velocidad de la nave yc es la velocidad de la luz.
La fórmula para el efecto Doppler es:
[matemáticas] t ‘= t (1+ \ frac {v} {c}) [/ matemáticas]
(cuando se aleja de nosotros)
O
[matemáticas] t ‘= t (1- \ frac {v} {c}) [/ matemáticas]
(cuando se mueve hacia nosotros)
Para combinar los dos (para obtener lo que se llama el efecto Doppler Relativista), simplemente multiplicamos.
[matemáticas] t ‘= \ frac {t (1 \ pm \ frac {v} {c})} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]
Si ponemos algunas velocidades de ejemplo en esa fórmula, obtenemos:
v Lejos hacia
0.5 1.732 0.577
0.6 2.000 0.500
0.7 2.380 0.420
0.8 3.000 0.333
0.9 4.359 0.229
0.95 6.245 0.160
0,99 14,107 0,071
0.999 44.710 0.022
(Disculpas por el formato, es lo mejor que puedo hacer en mi teléfono).
Al principio, vemos que el reloj que se aleja parece funcionar una vez cada 1.732 segundos y el que se mueve hacia nosotros parece funcionar una vez cada 0.577 segundos. Esto se debe casi por completo al efecto Doppler: el efecto relativista es mínimo con solo 0.5c.
A velocidades más altas, el reloj que se aleja de nosotros rápidamente comienza a funcionar cada vez más lento porque tanto la dilatación del tiempo como el efecto Doppler lo están ralentizando. El que se mueve hacia nosotros, sin embargo, avanza cada vez más rápido porque el efecto Doppler lo está acelerando y la dilatación del tiempo lo está desacelerando, pero el efecto Doppler es más grande.
Para ilustrarlo un poco más claramente, la fila final proviene de un factor de dilatación del tiempo de 22.37 y un efecto Doppler de 1.999 en una dirección y 0.001 en la otra. 22.37 * 1.999 = 44.7 y 22.37 * 0.001 = 0.022.
(Todo esto fue escrito en mi teléfono, así que si detecta algún error en las fórmulas de LaTeX o en mi hoja de cálculo, ¡hágamelo saber!)
