¿Cuál es la relación entre la geometría no conmutativa y la teoría de cuerdas?

En la mecánica cuántica, cuando dos operadores no viajan, conduce a una relación de incertidumbre entre ellos. Por ejemplo, el hecho de que los operadores de posición y momento no conmuten por una partícula puntual de mecánica cuántica, implica el famoso Principio de incertidumbre de Heisenberg: es decir, que su posición y momento no pueden medirse con precisión arbitraria al mismo tiempo.

Entonces, ¿qué significa la geometría no conmutativa? Bueno, se refiere a una teoría cuántica donde los operadores de posición (etiquetar diferentes dimensiones) no conmutan. ¡Esto implica que no se puede medir (por ejemplo) la posición de la partícula en los ejes xey para una posición arbitraria, simultáneamente! Debido a este hecho, no se puede, ni siquiera en principio, medir con precisión la ubicación de la partícula, como se podría hacer en principio para una partícula cuántica “ordinaria”. Por esta razón, la geometría no conmutativa hace que el espacio se vea ” difuso ” (¡literalmente la palabra que se usa!).

La geometría no conmutativa aparece en la teoría de cuerdas en un sentido no totalmente sorprendente; Dejame explicar. En la teoría de cuerdas hay cadenas abiertas y cerradas. En términos generales, las cadenas cerradas son básicamente bucles, no tienen límites y son libres de moverse en el espacio. Las cuerdas abiertas tienen extremos sueltos que pueden hacer una de dos cosas, pueden moverse libremente o pueden anclarse a una D-brane. Una D-brane es un objeto sofisticado en la teoría de cuerdas, pero para nuestros propósitos puedes pensar que es una membrana sobre la cual pueden terminar las cuerdas abiertas.

Los estados cuánticos de las cadenas parecen estados de partículas de diferentes campos cuánticos. Por ejemplo, las cadenas abiertas tienen estados cuánticos que parecen taquiones con masa imaginaria (¡sí, esto es preocupante!), Estados sin masa que se parecen más bien a las partículas portadoras de fuerza o “bosones vectoriales” y más, estados cada vez más masivos. A cada uno de estos estados podemos asociar un campo cuántico correspondiente . Por ejemplo, al estado taquiónico podemos asociar un campo taquiónico. Ahora uno de estos campos, para la cadena cerrada, es el llamado campo de Neveu-Schwarz o B. Si “enciendo” un campo B, entonces la geometría de las cadenas abiertas que terminan en D-branes se vuelve no conmutativa. Ok, todo esto es muy complicado, pero ¿en qué sentido podría no ser sorprendente?

Bueno, un resultado similar ocurre en un contexto mucho más ordinario, el de una partícula cuántica en un campo magnético . Si se considera construir una teoría cuántica de este sistema de la “manera ordinaria”, al imponer relaciones de conmutación canónica, se encuentra que simplemente no funciona. Sin embargo, si se explican adecuadamente las restricciones debidas al campo magnético de fondo, se descubre que la teoría cuántica correcta tiene una geometría no conmutativa. En cierto sentido, entonces, la cuerda en una D-brane en un campo B de fondo es análoga a una partícula cuántica en un campo magnético de fondo.