¿La paradoja de Russell implica que no entendemos el universo?

Lo que la paradoja de Russell muestra en términos simples es que no se puede poner una caja dentro de sí misma.

Si su modelo matemático de teoría de conjuntos le permite hacer esto, puede construir declaraciones que conduzcan a contradicciones.

Existen múltiples posibles “teorías de conjuntos” según los axiomas que acepte, pero en general la teoría de conjuntos se “solucionó” agregando algunas reglas para evitar que un conjunto sea un elemento de sí mismo.

No, no tiene sentido. No hay paradoja. Cuando define conjuntos, solo puede aplicarlos a cosas que son clasificables como tales, y ese es el jinete que siempre debe aplicar a los conjuntos. Por ejemplo, ‘el conjunto de todos los conjuntos que son clasificables como miembros de sí mismos’ (y no ‘el conjunto de todos los conjuntos que son miembros de sí mismos’ como Russell lo tenía), o ‘el conjunto de todos los conjuntos que son clasificables como no miembros de sí mismos ‘(y no’ el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos ‘como Russell lo tenía). Ninguno de los dos es miembro de sí mismo porque no es clasificable de esta manera. En el primer caso, no hay nada que determine si es o no un miembro de sí mismo, por lo que no es clasificable como tal. En el segundo caso, es igualmente inclasificable, aunque esto sería porque si no fuera así, y si no lo fuera, lo era.

Realmente es solo sentido común que los sets tienen que ser así. Un ejemplo de lenguaje común sería mi pregunta ‘¿De qué color es el amor?’ Bien, esto podría tener un sentido poético; sin embargo, literalmente el amor no es clasificable como un color, por lo que la pregunta no tiene sentido en términos literales. Russell pregunta “¿Es” el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos “un miembro de sí mismo? es como preguntar ‘¿De qué color es el amor?’ Es una pregunta sin sentido.

Bueno, yo diría que no entendemos el universo, aunque Russell’s Paradox realmente no tiene nada que ver con eso.

La paradoja de Russell solo muestra que algunos axiomas de la teoría de conjuntos son inconsistentes. En particular, no puede tomar un predicado arbitrario y construir el conjunto de elementos que satisfacen dicho predicado. Esto definitivamente confundió a algunos matemáticos en el pasado, aunque las matemáticas y la lógica han recorrido un largo camino desde entonces.

La teoría de conjuntos moderna generalmente se basa en los axiomas de ZFC (o solo en los axiomas de ZF si quieres ser así). En ZFC tiene un esquema de especificación axiomático, que es solo un nombre elegante para tomar un predicado arbitrario y un conjunto y construir el subconjunto de ese conjunto de elementos que satisfacen ese predicado. Si desea hacer esto para obtener una inconsistencia de la paradoja de Russell, necesitaría tener un conjunto de todos los conjuntos, pero esto no existe en ZFC (de hecho, el axioma de la regularidad prohíbe eso, aunque si recuerdo correctamente, es válido las teorías establecidas todavía existen sin el axioma de la regularidad).

Bueno, de todos modos, Russell’s Paradox no ha dejado perpleja a la comunidad matemática durante, como, 100 años. Diría que ahora entendemos bastante bien la teoría de conjuntos, aunque de nuevo, eso no tiene nada que ver con comprender el universo.

Afortunadamente para todos nosotros, no todo se puede reducir para establecer la teoría. La mayor parte del problema es que el universo está mal definido, como señala Hans. Es un buen lugar para dejar de preocuparse por la paradoja de Russell. Casi todos los matemáticos nunca se preocupan por eso.