¿Podría un agujero negro ser acelerado por una galaxia entera desde el borde hasta el centro? ¿Podría alcanzar velocidades relativistas de esa manera?

Si lo sueltas desde el borde (dependiendo del tamaño de la galaxia y la masa de su agujero negro central) sin una velocidad lateral (lineal), seguro (con tiempo suficiente).

Pero ese agujero negro no te servirá de nada si se fusiona con el agujero negro central. Solo dale un poco de velocidad hacia los lados para que se pierda y si puedes lograr que alcance la velocidad de escape en la periapsis, ¡bingo! Tienes un agujero negro que se mueve a velocidades relativistas. Excepto recuerda que ahora te diriges al espacio intergaláctico. Te llevará mucho tiempo abandonar la galaxia, pero tenlo en cuenta.

En realidad, si puedes hacer que una estrella orbita el agujero negro, y tienes un planeta en el que puedes habitar en órbita alrededor de los dos (o tal vez solo un gigantesco hábitat giratorio), tendrás el mejor cielo nocturno de la historia. Tal vez apunte hacia Andrómeda para asegurarse de que no se quede solo cuando su estrella finalmente se quede sin hidrógeno. Puede reabastecerse de las galaxias que detiene robando una estrella. No es un mal ambiente, diría.