¿Qué son los números cuánticos? ¿Qué explican sobre la configuración SPDF?

No estoy seguro de cuántos detalles quieres, pero los números cuánticos son cantidades conservadas en un sistema cuántico. Aquí, conservado significa que lo observable es constante con respecto al tiempo, lo que equivale a viajar con el hamiltoniano.
Creo que está pensando específicamente en el sistema de átomos de hidrógeno, y en ese caso los números cuánticos útiles son los números cuánticos principales (n), angular (l), azimutal (m) y de proyección de espín (m_s). Tenga en cuenta que el número cuántico principal es básicamente energía, por lo que el Hamiltoniano se incluye en este conjunto. Sucede que este conjunto de observables constituye lo que se conoce como un conjunto completo de variables de conmutación. Es decir, todos viajan entre sí, y juntos definen de forma única un estado propio de energía.
En cuanto a la notación spdf que aprendes en química, son solo etiquetas específicas para el número cuántico angular. S significa l = 0, p significa l = 1, etc.