“Analítico” y “numérico” son enfoques complementarios; haces uno u otro, pero generalmente no ambos. Suponiendo que el problema es lo suficientemente complejo como para que un enfoque analítico esté fuera de discusión, normalmente usaría uno de dos enfoques numéricos:
1) Si el problema tiene suficiente simetría para ser reducible a un problema bidimensional, usualmente usaré un método de relajación. Configuraré una cuadrícula 2D sobre el dominio del problema, inicializaré el potencial a algún valor inicial que parezca “razonable”, luego calcularé numéricamente el Laplaciano en cada punto de la cuadrícula para actualizar el valor del potencial en ese punto. Repita hasta que el valor converja. La relajación es relativamente lenta, pero muy sencilla de implementar.
2) Si el problema es inherentemente tridimensional, la relajación probablemente será demasiado lenta para ser útil. En ese caso, usaré un método de elementos finitos. Construir un solucionador de elementos finitos desde cero es una cantidad ridícula de trabajo, por lo que usaría un paquete existente. Yo uso uno de los dos paquetes, dependiendo del tipo de problema. Para este problema, usaría Gmsh / GetDP. La documentación supone cierto conocimiento de los métodos de elementos finitos, pero hay algunos buenos ejemplos para servir como puntos de partida, y la lista de correo es un recurso útil. (El otro paquete que uso es Calculix, que resuelve más tipos de problemas que GetDP, pero también es más complicado de usar).
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Una vez que obtuve el potencial 3D, determinar el campo es sencillo.
