No sé acerca de “común”, pero este es uno de mis favoritos, ya que es bastante desagradable para calcular la respuesta en las formas estándar, pero existe una solución muy simple y elegante.
Doy una respuesta al final. Daré otra advertencia antes de hacerlo, pero considérate advertido previamente.
La pregunta:
- ¿Por qué se utiliza -1 al final de algunas unidades? Como MS-1 para metros por segundo, o MS-2 para metros por segundo al cuadrado.
- ¿Cómo se desarrolla una "intuición" sobre la física?
- ¿Por qué el espacio siempre está oscuro aunque el Sol también está allí en el espacio?
- ¿Qué pasa si los electrones que orbitan se ralentizan en el tiempo y cierran la brecha entre el núcleo y la órbita del elector, la órbita más pequeña R en el tiempo puede crear la gravedad?
- ¿Qué pasaría si te encoges por toda la eternidad?
Considere una carcasa esférica conductora hueca, inicialmente neutral, de radio [matemática] R [/ matemática]. A continuación, colocamos una carga [matemáticas] Q [/ math] a una distancia [matemáticas] d> R [/ math] de distancia del centro de la esfera, como se muestra.
Es una propiedad básica de los conductores que son equipotenciales, es decir, que el potencial electrostático [matemático] V [/ matemático] está en algún valor constante [matemático] V_0 [/ matemático] en todo el cuerpo del conductor; las cargas dentro del conductor comienzan a separarse (“polarizarse”) hasta que no haya más diferencias potenciales. En el caso de una superficie conductora cerrada sin nada en su interior, ya que tenemos aquí, el potencial es en ese mismo valor [matemáticas] V_0 [/ matemáticas] en todo el interior del edificio.
Sin embargo, nada de eso nos dice cuál es realmente el valor de [math] V_0 [/ math]. Una vez que la esfera está polarizada, la distribución de carga ya no se conoce (a menos que la calculemos nosotros mismos), por lo que encontrar el potencial en cualquier ubicación no es una cuestión simple.
Entonces, esa es la pregunta: dada esta configuración, ¿cuál es el potencial [matemático] V_0 [/ matemático] de la esfera y su interior? (Por supuesto, estamos siguiendo la convención estándar de establecer [matemáticas] V = 0 [/ matemáticas] infinitamente lejos de cualquier cargo).
La respuesta (spoilers!):
Por supuesto, es posible resolver este problema utilizando métodos bastante estándar (pero algo avanzados) de E&M: puede ampliar el potencial en armónicos esféricos y hacer una coincidencia de valores límite, puede usar el método de cargas de imagen (aunque requiere otras dos de ellos), y tal vez las opciones.
Sin embargo, eso no sería un desafío para la mente, solo sería un problema de física para estudiantes universitarios de física avanzados. Prometí una solución elegante, y aquí está.
Puesto que el potencial es uniforme en todas partes sobre y dentro de la cáscara, si podemos calcular el potencial en cualquier punto en esa región, habremos encontrado el potencial en cada punto de esa región. Vamos a elegir el centro de la esfera como nuestro punto.
El potencial en el centro de la esfera es la suma de las contribuciones de todos los cargos en el problema, es decir, todas las cargas de polarización de la esfera, así como la carga externa [matemáticas] Q [/ matemáticas].
Vamos a empezar con las cargas de polarización.
Antes de la esfera se polarizó, todo era eléctricamente neutro; Las cargas positivas y negativas en la esfera se cancelaban entre sí, por lo que no había contribución al potencial en el centro de la esfera (o en cualquier otro lugar). El proceso de polarización se compone enteramente de cargas en movimiento de un lugar en la esfera a la otra. Sin embargo, el potencial en el centro de la esfera de cualquier carga dada [matemática] q_i [/ matemática] en la superficie es [matemática] V_i = k q_i / R [/ matemática], porque cada punto en la esfera es la misma distancia [matemáticas] R [/ math] de distancia del centro. Esto significa que mover una carga de un punto de la esfera a otro no cambia el potencial en el centro , ¡porque la distancia sigue siendo la misma! Entonces, dado que la esfera neutral no contribuyó al potencial en el centro, ¡ tampoco lo hace la esfera polarizada ! Al elegir nuestro punto sabiamente, acabamos de hacer que toda la complejidad del problema sea totalmente irrelevante.
Por lo tanto, nos quedamos con sólo una única carga puntual, por lo que el potencial es fácil de calcular. Esto nos da la respuesta:
[matemática] V_0 = \ frac {k Q} {d} [/ matemática].
O, para hacerlo más general: si tiene una esfera conductora hueca centrada en el punto [matemáticas] P [/ matemáticas], y cualquier conjunto de cargas que le guste fuera de esa esfera, el potencial en (y dentro) de la esfera tendrá el mismo valor que si ignora la esfera y calcula el potencial en [math] P [/ math].
¡Qué hay sobre eso!
