Ahh, poesía. Sabes, realmente no me gustan los términos operadores de “creación” y “aniquilación”. Trae tanta confusión a los fácilmente confundidos.
Entonces, ¿qué queremos decir con “operador de creación / aniquilación”? ¿Qué se está creando y qué se está aniquilando?
Para un oscilador armónico (y de hecho para cualquier sistema cuántico 1D), puedo escribir el Hamiltoniano como un producto de operadores no hermitianos.
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[matemáticas] H = A ^ \ daga A [/ matemáticas]
Para el caso del oscilador armónico, podemos escribir
[matemáticas] H = \ hbar \ omega (a ^ \ daga a + \ frac {1} {2}) [/ matemáticas]
y tenemos una relación algebraica entre los operadores [math] [a, a ^ \ dagger] = 1 [/ math] que dan la propiedad de que cuando actuamos en un vector propio de H , obtenemos
[matemáticas] a | n \ rangle = \ sqrt {n-1} | n-1 \ rangle [/ matemáticas]
y
[matemáticas] a ^ \ daga | n \ rangle = \ sqrt {n} | n + 1 \ rangle [/ matemáticas]
En otras palabras, el operador [math] a ^ \ dagger [/ math] crea una excitación del campo (es decir, agrega una partícula) y el operador a elimina una excitación (o en consecuencia, crea la antipartícula).
Generalmente, los usamos en pares para calcular las probabilidades de transición, las energías de interacción, etc. Por ejemplo, podemos tener una interacción de dos cuerpos de la forma
[matemáticas] V_ {ijkl} a ^ \ dagger_i a ^ \ dagger_j a_k a_l [/ math]
donde los subíndices denotan modos específicos. En otras palabras, el operador [math] a_j ^ \ dagger [/ math] crea una excitación en el modo j. Observe que tenemos el mismo número de operadores de aniquilación que operadores de creación, lo que implica que el número total de excitaciones o bosones en este caso es una cantidad conservada. Simplemente estoy moviendo bosones de los modos k y l a los modos i y j.
También se pueden definir operadores fermiónicos que agreguen un solo fermión al estado n o eliminen uno de ese estado. En cuyo caso, los operadores disfrutan de una relación anti-conmutación:
[matemáticas] \ {f_j, f_k ^ \ dagger \} = \ delta_ {jk} [/ math]
Para fermiones ordinarios, los operadores de creación y aniquilación son cantidades matemáticas distintas.
Sin embargo, para la Majorana, son lo mismo, lo que implica que es posible que una partícula sea su propia antipartícula. Es difícil de comprender … pero matemáticamente posible. Puede relacionar operadores de fermiones ordinarios con dos operadores de Majorana a través de
[matemáticas] f = (\ gamma_1 + i \ gamma_2) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
y
[matemática] f ^ \ dagger = (\ gamma_1 – i \ gamma_2) / \ sqrt {2} [/ math]
Majorana propuso una teoría simétrica de electrones y positrones que no tenía que recurrir a estados de energía negativos (es decir, antimateria).
No es necesario decir que la búsqueda de un fermión de Majorana ha sido difícil, pero la evidencia parece sugerir que son observables en fluidos cuánticos de baja dimensión.
