En pocas palabras, una molécula tiene menos energía que los átomos individuales. Intentar separarlos (o juntarlos, para el caso) aumentará la energía del sistema y, por lo tanto, es desfavorable. Esta energía más baja es causada en última instancia por la atracción entre electrones y protones que, en una molécula estable, disminuirá la energía de la molécula más que el aumento causado por la repulsión del mismo signo.
Por supuesto, debido a la mecánica cuántica (que conduce a la existencia de orbitales atómicos y moleculares, reglas de llenado orbital, etc.) y al hecho de que la mayoría de los átomos tienen múltiples protones y electrones, los detalles de la unión son bastante más complicados y yo no creo que pueda hacerle justicia aquí sin dar un resumen muy extenso de todo un plan de estudios de química de pregrado.
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