Si observa cualquier acción corriente que describa la dinámica de un campo, verá que es la integral de un lagrangiano local que depende explícitamente solo del valor del campo y su primera derivada en ese punto. . Un ejemplo es el campo escalar libre de masa [matemática] m [/ matemática]
[matemáticas] S = \ int_D \ star (| \ mathrm d \ phi | ^ 2 – m ^ 2 \ phi) [/ math]
donde [math] D [/ math] es la región de interés. ¿Cómo extraemos las ecuaciones de movimiento de esto? Llevamos a cabo una variación [math] \ phi \ mapsto \ phi + \ delta \ phi [/ math] sujeta a la restricción de que la restricción de [math] \ delta \ phi [/ math] al límite [math] \ partial D [/ math] es cero (o alguna función fija), y exige que la variación resultante en la acción [math] \ delta S [/ math] desaparezca. Llevar a cabo una integración por partes aísla un término de límite que se desvanece porque fijamos [math] \ delta \ phi [/ math] en el límite y una integral de la forma
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[matemáticas] \ delta S = 2 \ int_D \ star \ langle \ delta \ phi, \ Delta \ phi -m ^ 2 \ phi \ rangle [/ math]
donde [math] \ Delta: = \ mathrm d ^ \ dagger \ mathrm d + \ mathrm d \ mathrm d ^ \ dagger [/ math] es el Laplaciano. Esto nos da la ecuación de movimiento.
[matemáticas] \ Delta \ phi -m ^ 2 \ phi = 0 [/ matemáticas]
ya que aparte de la restricción de límite [math] \ delta \ phi [/ math] es arbitraria.
Como puede ver, la ecuación de movimiento es una ecuación diferencial de segundo orden y la razón es que el Lagrangiano en sí no contiene ninguna derivada de segundo o mayor. Si dependiera de las segundas derivadas además del campo y sus primeras derivadas, entonces también necesitaríamos especificar las primeras derivadas en el límite que se fijarán además del valor del campo, y las EoM resultantes serían un diferencial de tercer orden ecuaciones
O eso es lo que uno podría esperar ingenuamente. La cuestión es que puede agregar algún término que sea una derivada total del lagrangiano que, en virtud del teorema de divergencia debido a Gauss, no aporta grados locales de libertad en el interior. Por lo tanto, no hace ninguna diferencia para los EoM locales. Si tomamos el ejemplo del campo escalar libre con masa [math] m [/ math] nuevamente, entonces tenga en cuenta que podemos agregar el término derivado total [math] – \ mathrm d (\ phi \ wedge \ star \ mathrm d \ phi) [/ math] al lagrangiano y nos daría la acción
[matemática] S = \ int_D \ star \ langle \ phi, \ Delta \ phi -m ^ 2 \ phi \ rangle. [/ math]
La dinámica local no ha cambiado, pero ahora tenemos segundas derivadas en el lagrangiano. Esto significa que ya no podemos implementar condiciones de Dirichlet en el límite (es decir, en el que fijamos el valor del campo en el límite pero dejamos que la primera derivada esté libre) y realicemos la variación de manera significativa. En su lugar, tenemos que recurrir a una combinación de condiciones tanto en el campo como en sus derivados (una ‘superposición’ de las condiciones de contorno de Dirichlet y Neumann para decirlo libremente). Esto puede hacer las cosas bastante complicadas en escenarios en los que queremos trabajar con la acción directamente en lugar de las EoM.
Ahora, la acción de Einstein-Hilbert es una instancia clásica del segundo caso anterior. Implica segundas derivadas de la métrica aunque las ecuaciones de campo son PDE de segundo orden. Además, para derivar la ecuación de Einstein de la acción de Einstein-Hilbert, debe implementar condiciones de contorno de Neumann. Entonces, para resolver esta dificultad engorrosa, agregamos un término límite en la acción (que se puede considerar como la integral de una derivada total en el interior) para llevarlo a una forma en la que todos los segundos términos derivados en la acción de Einstein-Hilbert son cancelados
Normalmente, no nos importa esto, ya que es con las ecuaciones de Einstein con las que trabajamos la mayor parte del tiempo, pero como mencioné anteriormente, a veces necesitamos trabajar con la acción misma. Dos escenarios en los que este es el caso son a) la formulación de la gravedad Hamilton-Jacobi que Brown y York utilizaron para derivar el tensor de estrés cuasilocal para la gravedad yb) la receta de Gibbons-Hawking para asignar la temperatura a un agujero negro. (De ahí el nombre Gibbons – Hawking– (Brown) –York.)
En el formalismo de Hamilton-Jacobi, en lugar de mantener fijo el límite y variar la acción sobre los grados de libertad en el interior para obtener la acción clásica, restringimos la variación para que se ubique dentro del espacio de las acciones clásicas y varíe el límite de manera esquemática. , la variación de la acción es “algo” multiplicada por la variación en el límite (dado que los términos de EoM desaparecen debido a la restricción de la clasicidad). Cuando consideramos que el límite consta de dos superficies Cauchy con forma de espacio (junto con la superficie del cilindro que conecta las dos superficies), al separar las superficies Cauchy se obtiene la evolución del “tiempo” de la acción clásica y el “algo” puede interpretarse como el hamiltoniano. También podría pensarse que separar las superficies de Cauchy implementa una variación de la métrica inducida en la superficie del cilindro. Esto nos da un tensor de tensión ‘cuasilocal’ para la gravedad que tiene exactamente la misma forma que el tensor de tensión para un campo de materia, excepto que en lugar de la métrica completa es la métrica inducida en el límite. Esta fue una de las primeras indicaciones de un principio holográfico en el trabajo.
En la receta de Gibbons-Hawking, explotamos la similitud formal entre la función de partición de un conjunto de campos a temperatura [matemática] \ beta [/ matemática] y el operador de evolución de tiempo para campos (incluida la métrica) fuera del horizonte de eventos en el dirección del tiempo imaginario que viene equipado con un período imaginario natural [matemáticas] i \ beta [/ matemáticas] si deseamos evitar una singularidad cónica en la continuación analítica de la métrica en el horizonte de eventos. De hecho, la acción corresponde a la energía libre de Helmholtz, y puede ver que en el caso de Schwarzschild (que tiene una temperatura definida) la única contribución proviene del término límite de GHBY en el horizonte de eventos (la región de interés es todo el exterior del agujero negro). Esta identificación de la energía libre con la acción también se transfiere a AdS / CFT, donde el término GHBY en el límite exterior (es decir, el límite del espacio asintóticamente AdS) regula la divergencia que surge de la integración de Einstein-Hilbert Lagrangian en todas partes el interior (es decir, la región ubicada entre el límite de AdS y el horizonte de eventos de un agujero negro de AdS).
