Nuestro mundo tiene una sorprendente cantidad de simetrías. El álgebra (al menos ciertas áreas) trata en gran medida de la simetría. Emmy Noether desarrolló muchas de estas conexiones. Era una física matemática increíble que hizo un trabajo innovador tanto en física teórica como en álgebra abstracta. Aunque inicialmente encontró dificultades para ingresar a la Universidad de Erlangen debido al sexismo de principios del siglo XX, asistió a la escuela en un momento con David Hilbert, Felix Klein y Hermann Minkowski bajo las conferencias de Karl Schwarzschild.
Todos estos tipos eran gigantes de las matemáticas o la física, o de ambos. Algunos de ellos continuaron con lo que se conoce como el programa Erlangen en el que Élie Cartan continuó trabajando, generalizando la geometría riemanniana. La cantidad que todas estas personas influyeron en la física teórica es algo astronómica.
Noether es particularmente conocido por lo que se conoció como el Teorema de Noether, que muestra que si un sistema de partículas muestra simetría de una manera particular (es decir, su Hamiltoniano es invariante a una transformación continua), entonces hay una cantidad conservada.
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Esta es una forma de explicar la conservación del momento lineal, de la energía, del momento angular, de la carga eléctrica. Por ejemplo, una de las teorías de calibre más simples es la electrodinámica clásica. Esto se debe a que tanto el campo eléctrico como el campo magnético son, respectivamente, invariantes a una transformación particular.
Por lo tanto, existen algunos vínculos entre los dos campos, muchos de ellos vinculados a las modernas teorías de partículas y campos cuánticos, incluido el modelo estándar de física.
Otra área donde el álgebra y la simetría son esenciales es la teoría moderna de la materia condensada. El álgebra y la topología desempeñan un papel importante en la cristalografía (la cohomología es uno de esos casos), así como en la teoría de Landau de las transiciones de fase que aborda las transiciones de fase de segundo orden de manera que un sistema experimente un cambio continuo de su estructura pero un cambio discontinuo en la simetría (Referencia: simetría y física de la materia condensada).
Aunque no es realmente de naturaleza algebraica, Landau tenía otra teoría muy exitosa llamada amortiguación de Landau, sobre la cual puede leer más en las respuestas a esta pregunta de Quora: ¿Qué probó Cédric Villani para su Medalla Fields?
Por último, los grupos cuánticos es otro tema utilizado con frecuencia en física teórica. Una de esas instancias son las teorías deformadas del espacio-tiempo (aquí hay una lista arXiv de los documentos de q-Minkowski Space).
