Suponiendo que la teoría cuántica resulta ser cierta, ¿cómo afectaría a la física newtoniana?

Permítanme comenzar diciendo que la mecánica cuántica es “verdadera” en el sentido que el interrogador probablemente pretendía, ya que las predicciones hechas a partir de postulados QM son consistentes con la evidencia experimental en regímenes no relativistas (QM en sí mismo no es relativista, necesita QFT para obtener coherencia con la relatividad especial, mientras que todavía no tenemos una unificación aceptada de la relatividad general con el mundo cuántico). En otras palabras, un modelo de naturaleza indeterminista como QM es mucho más preciso para predecir cosas que la mecánica clásica determinista.

La pregunta, entonces, es ¿cómo podemos cuadrar esto con nuestras observaciones diarias del determinismo en el mundo clásico? La respuesta simple es que las predicciones de la mecánica cuántica concuerdan con las predicciones de la mecánica newtoniana en el límite clásico (grandes masas, grandes escalas de longitud, etc.). El principio de correspondencia: la página de Wikipedia habla un poco sobre cómo sucede esto en algunos casos. Personalmente he encontrado que el teorema de Ehrenfest es particularmente convincente ya que proporciona un análogo cuántico de la segunda ley de Newton. Solo lo derivaré para su conveniencia:

Tengamos un estado [matemático] | \ alpha \ rangle [/ matemático] en [matemático] t = 0 [/ matemático] que evoluciona bajo un Hamiltoniano [matemático] \ hat {H} [/ matemático] con un potencial [matemático] \ hat {V} (x, t) [/ math] independiente del momento. Entonces el estado en el momento [matemáticas] t [/ matemáticas] será [matemáticas] | \ alpha (t) \ rangle = e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle [/ math] de la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo. El valor promedio de la posición es [matemáticas] \ langle x \ rangle = \ langle \ alpha (t) | \ hat {x} | \ alpha (t) \ rangle = \ langle \ alpha | e ^ {\ frac { i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ hat {x} e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle. [/ math] Si diferenciar esto para encontrar la tasa de cambio de la posición promedio con el tiempo, obtenemos:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ langle x \ rangle = \ dfrac {d} {dt} \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ hat {x} e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle [/ math]

[matemáticas] = \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ frac {i \ hat {H}} {\ hbar} \ hat {x} e ^ { – \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle + \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ hat {x } \ left (- \ frac {i \ hat {H}} {\ hbar} \ right) e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle [/ math ]

[matemáticas] = \ frac {i} {\ hbar} \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ left (\ hat {H} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {H} \ right) e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle. [/ math]

Ahora, [matemáticas] \ hat {H} = \ dfrac {\ hat {p} ^ 2} {2m} + \ hat {V} (x, t) [/ math]. Por lo tanto, tenemos:

[matemáticas] \ hat {H} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {H} = \ dfrac {1} {2m} \ left (\ hat {p ^ 2} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p ^ 2} \ right) + \ hat {V} (x, t) \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {V} (x, t) = \ dfrac { 1} {2m} \ left (\ hat {p ^ 2} \ hat {x} – \ hat {p ^ 2} \ hat {H} \ right) [/ math],

donde el último término es cero ya que el potencial [math] \ hat {V} [/ math] solo depende de la posición [math] x [/ math] y, por lo tanto, conmuta con [math] \ hat {x} [/ math]. Además, podemos simplificar [matemáticas] \ dfrac {1} {2m} \ left (\ hat {p} ^ 2 \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p} ^ 2 \ right) = \ dfrac {1} {2m} \ left (\ hat {p} ^ 2 \ hat {x} – \ hat {p} \ hat {x} \ hat {p} + \ hat {p} \ hat {x} \ hat {p} – \ hat {x} \ hat {p ^ 2} \ right) = \ dfrac {1} {2m} \ left (\ hat {p} \ left (\ hat {p} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p} \ right) + \ left (\ hat {p} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p} \ right) \ hat {p} \ right) [ /matemáticas].

Los postulados de QM también nos dicen que [matemáticas] \ hat {p} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p} = – i \ hbar [/ math] (de hecho, esto también se puede tomar como un postulado) y entonces nos quedamos con: [matemáticas] \ dfrac {1} {2m} \ left (\ hat {p} \ left (\ hat {p} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p} \ right) + \ left (\ hat {p} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p} \ right) \ hat {p} \ right) = [/ math] – [math ] \ dfrac {i \ hbar} {2m} \ left (\ hat {p} + \ hat {p} \ right) = – \ dfrac {i \ hbar \ hat {p}} {m} [/ math].

Por lo tanto: [matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ langle x \ rangle = \ frac {i} {\ hbar} \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar }} \ left (\ hat {H} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {H} \ right) e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle = \ frac {i} {\ hbar} \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ left (- \ dfrac {i \ hbar \ hat {p}} {m} \ right) e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle = \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ hat {p} e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle = \ langle \ alpha (t) | \ ¡sombrero {p} | \ alpha (t) \ rangle = \ langle p \ rangle [/ math]!

En palabras, la tasa de cambio de la posición promedio por la masa es la misma que la cantidad de movimiento promedio , análoga a la definición clásica.

Al repetir el mismo procedimiento, encontramos que la tasa de cambio del momento promedio es

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ langle p \ rangle = \ dfrac {d} {dt} \ langle \ alpha | e ^ {\ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ hat {p} e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle = \ frac {i} {\ hbar} \ langle \ alpha | e ^ {\ frac { i \ hat {H} t} {\ hbar}} \ left (\ hat {H} \ hat {p} – \ hat {p} \ hat {H} \ right) e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ alpha \ rangle = \ langle – \ dfrac {\ partial V (x, t)} {\ partial x} \ rangle [/ math].

En mecánica clásica, fuerza [matemática] F = – \ dfrac {\ parcial V (x, t)} {\ parcial x} [/ matemática], por lo que tenemos algo muy parecido a la segunda ley de Newton de QM.

Otros ejemplos estándar que muestran correspondencia cuántica-clásica son la equipartición de energía cinética y potencial para osciladores armónicos y la aproximación semiclásica de WKB.

En cuanto a cuál es el gran problema: las leyes de Newton todavía se aplican a las cosas macroscópicas, ya que las predicciones de QM tienden a las predicciones de la mecánica newtoniana en el límite clásico. Explicar el mundo clásico, por lo tanto, no es un problema. Sin embargo, QM también hace predicciones sobre muchas cosas en escalas de longitud pequeñas que son consistentes con el experimento, a diferencia de las predicciones de la mecánica clásica (el átomo de Rutherford viene a la mente de inmediato) que generalmente no se cumplen. No podríamos hacer predicciones sobre una gran cantidad de cosas importantes (la química y la física de la materia condensada me vienen inmediatamente a la mente por cortesía de mis intereses de investigación, pero la lista es muy larga, incluso sin las dos) sin QM.

En resumen, utilizamos la mecánica clásica para cosas macroscópicas, ya que sabemos que QM daría el mismo resultado. Sin embargo, no podemos prescindir de QM cuando se trata de cosas muy pequeñas y, por lo tanto, QM es una imagen “más completa” (aunque aún incompleta) de cómo funciona el universo.

Hola Sr. / Sra. Dormir durante 100 años!

¡La teoría cuántica es cierta desde hace más de 100 años y la física newtoniana también es cierta! Es solo que la física cuántica se aplica a escala atómica y subatómica o a un nivel de alta energía. La física newtoniana es para el objeto macro. Curiosamente, muchas ecuaciones cuánticas también son aplicables para los aspectos newtonianos.

No afectaría mucho a la física newtoniana. Dado que la física newtoniana es válida para cuerpos extendidos. Además, la física cuántica gobierna las partículas subatómicas, no traería una cantidad significativa de cambios a las ecuaciones en la mecánica newtoniana. Sin embargo, hay algunas partes de la física newtoniana que podrían tener un cambio significativo, como la gravitación y las ecuaciones astrofísicas.