Hay dos opciones para desorbitar la luna: puede caerse o salir:
Ambos satisfacen la definición de “desorbit” que simplemente significa “salir de la órbita”, ¡sin especificar en qué dirección sale de la órbita!
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Tanto en el caso 1 como en el caso 2, la luna ya no estaría en la órbita de la Tierra (aunque en el caso 2, eso se debe a que en su lugar se ha puesto en órbita del sol ), por lo tanto, ha sido “desorbitada” la Tierra, al menos).
Luego se convierte en un interesante ejercicio de mecánica orbital, porque resulta que no necesitamos darle tanta energía como cabría esperar.
Un cálculo ingenuo para ambos métodos sería calcular la energía gravitacional de la luna en cada punto de desorbita, comparar eso con la energía potencial gravitacional actual de la Luna con respecto a la Tierra, y luego ir desde allí.
La energía requerida es simplemente:
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta E = GM_ {e} M_m \ left (\ frac {1} {r_m} – \ frac {1} {r_ {deorbit}} \ right) \ tag * {} [/ math]
Donde [math] M_e [/ math] y [math] M_m [/ math] son las masas de la Tierra y la luna respectivamente, [math] r_m [/ math] es el radio orbital actual de la luna, y [math] r_ {deorbit} [/ math] es el radio orbital en el punto de desorbita.
Para “desorbit 1” (DO1), nuestro punto de desorbit es la superficie de la Tierra, un radio orbital de [math] r = 6371 [/ math] km.
Conectar todos los valores da:
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta E_1 = 4.52 \ veces 10 ^ {30} \ text {J} \ tag * {} [/ matemáticas]
Para DO2, nuestro punto de desorbit estaría en el infinito, entonces:
[math] \ displaystyle \ Delta E_2 = 7.62 \ times 10 ^ {28} \ text {J} \ tag * {} [/ math]
Lo que da el resultado algo contradictorio de que es 100 veces más fácil arrojar la luna infinitamente lejos, ¡que simplemente moverla hacia adentro 380,000 km!
¡Tal es la naturaleza de los potenciales [matemáticos] 1 / r [/ matemáticos]!
Sin embargo, dije que este era un cálculo ingenuo .
Eso es porque ignoró una cosa simple … ¡el hecho de que la luna se está moviendo!
Nuestros cálculos allí fueron solo para mover un objeto estacionario hacia arriba y hacia abajo de un pozo potencial, sin ningún movimiento lateral.
¡Pero la luna está en órbita!
En lugar de mover mecánicamente la luna hacia arriba y hacia abajo de un potencial como subir una escalera, lo que debemos hacer es bajar el perigeo a la superficie de la Tierra (para DO1), o para DO2, elevar la apoapsis al punto de escape.
Esto es lo que se muestra en el diagrama al principio: queremos poner la luna en una órbita elíptica donde solo raspa la superficie de la Tierra (DO1) o simplemente sale de la región donde la gravedad de la Tierra es dominante (DO2).
Por lo tanto, ya sea acelerando la luna o ralentizándola en la dirección de su movimiento (es decir, perpendicular al radio de la Tierra), podemos hacer esto mucho más fácil, esencialmente utilizando la energía cinética de la luna.
Ahora, esto termina siendo un cálculo bastante … desordenado …
El hecho de que la luna se mueva mientras la empujas significa que todo se vuelve muy asqueroso muy rápido. Por lo tanto, hacemos la aproximación “instantánea”, y suponemos que podemos aproximarnos a que podemos transferir toda nuestra energía a la luna al instante.
Esta es una aproximación bastante buena para los cohetes … no es tan genial cuando se empuja algo tan descomunal como la luna, ¡pero la alternativa no es agradable!
En esta aproximación, por lo tanto, podemos utilizar una fórmula bastante encantadora llamada ecuación Vis-viva:
[matemáticas] \ displaystyle v ^ 2 = GM_e \ left (\ frac {2} {r} – \ frac {1} {a} \ right) \ tag * {} [/ math]
Donde [math] a [/ math] es el semieje mayor de la elipse, dado que conocemos nuestro perigeo ([math] r_ {min} [/ math]) y apogee ([math] r_ {max} [/ math] ), podemos escribir esto como:
[math] \ displaystyle a = \ frac {r_ {min} + r_ {max}} {2} \ tag * {} [/ math]
Por lo tanto, podemos decir que si queremos transferir entre una órbita circular de radio [matemática] r_1 [/ matemática], a una elíptica con apogeo y perigeo según lo especificado por [matemática] r_1 [/ matemática] y [matemática] r_2 [ / math], entonces necesitas cambiar la velocidad del objeto en una cantidad:
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta v = \ sqrt {\ frac {GM_e} {r_1}} \ left (\ sqrt {\ frac {2 r_2} {r_1 + r_2}} – 1 \ right) \ tag * {} [ /matemáticas]
Por lo tanto, los requisitos de energía para desorbitar la luna están dados por:
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta E = \ frac {1} {2} M_m \ Delta v ^ 2 = \ frac {GM_eM_m} {2r_m} \ left (\ sqrt {\ frac {2 r_i} {r_m + r_i}} – 1 \ derecha) ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Donde [math] r_i [/ math] es la superficie de la Tierra o el punto de escape de DO2.
Usando esta ecuación encontramos que
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta E_1 = 2.554 \ veces10 ^ {28} \ text {J} \ tag * {} [/ matemáticas]
Que es más de 100 veces menos que nuestro cálculo ingenuo, y para DO2:
[math] \ displaystyle \ Delta E_2 = 6.53 \ times 10 ^ {27} \ text {J} \ tag * {} [/ math]
¡Obtenemos una respuesta 10 veces menor que nuestro ingenuo cálculo!
¡Excepto incluso entonces , probablemente podamos afeitarnos un poco!
En realidad, no necesitamos que la Luna golpee la superficie de la Tierra para DO1, y en realidad no necesitamos empujar la Luna al infinito para DO2.
Para DO1 descuidamos el hecho de que la Luna no es un objeto puntual: tiene un radio de 1700 km, por lo que en realidad solo necesitamos [math] r_2 = 8000 [/ math] km para inducir una colisión (y cosas catastróficas van a suceder ¡cuando la Luna se acerque a 10,000 km de esa distancia de todos modos!)
Por lo tanto, en una estimación muy conservadora, un cambio en la energía de aproximadamente
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta E_1 = 2.3 \ veces10 ^ {28} \ text {J} \ tag * {} [/ matemáticas]
Pondría a la luna en el camino de desorbita descrito por DO1.
Para DO2, miramos la esfera de la colina de la Tierra: si obtenemos nuestra apoapsis fuera de la esfera de la colina, la Luna ya no estará dominada por la gravedad de la Tierra y, en cambio, estará en órbita alrededor del sol.
La esfera de la colina de la Tierra es de ~ 1.5 millones de km, por lo que la usamos como [math] r_2 [/ math], en lugar de [math] \ infty [/ math], que da:
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta E_2 = 2.6 \ veces10 ^ {27} \ text {J} \ tag * {} [/ matemáticas]
Entonces, ¿cuánta energía es esa?
Es mucho
Si tomáramos cada barril de petróleo de cada reserva de petróleo en el mundo, y pudiéramos refinarlo milagrosamente en combustible de cohete perfecto, y luego podríamos ponerlo en nuestros mejores motores de cohete, podríamos generar un empuje que se transferiría aproximadamente [matemáticas] 10 ^ {21} [/ matemáticas] J de energía.
Usando cada barril de petróleo en la Tierra .
Si lo conectamos a nuestra ecuación de cambio radial, encontramos que esto nos da un cambio enorme en la órbita de 0.06%.
Si usáramos hasta el último bit de combustible de cohete que pudiéramos tener en la Tierra, podríamos mover la Luna desde un radio orbital de 384,400 km a una órbita con radio … 384,650 km.
Si el asteroide que aniquiló a los dinosaurios (el impactador Chicxulub) impactó la luna al 0.1% de la velocidad de la luz (aproximadamente la velocidad de los objetos que se mueven más rápido en nuestro sistema solar, pero mil veces más masiva), solo tendría suficiente energía para poner la luna en una órbita de escape si se transfiere el 100% de la energía y se conserva el impulso.
Larga historia corta: cualquier cosa capaz de desorbitar la luna es algo de lo que estar realmente aterrorizado.
Afortunadamente, la Luna ha estado dando vueltas durante un par de miles de millones de años, por lo que no parece que vaya a ninguna parte por el momento.
