El teorema de Stoke afirma que
[matemáticas] \ int _ {\ textrm {loop edge}} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {x} \ right) \ cdot d \ mathbf {l} = \ int _ {\ textrm {superficie}} \ mathbf {x } \ cdot d \ mathbf {S} [/ math]
para cualquier vector x
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Las leyes de Maxwell nos dicen que:
[matemáticas] \ nabla \ veces H = J [/ matemáticas]
Donde el campo magnético B está relacionado con la inducción magnética H a través de:
[matemáticas] B = \ mu_0 H [/ matemáticas]
y J es el actual
Entonces, sustituyendo x en ambos lados de la ecuación de Stokes con la ley de Maxwell, obtenemos:
[math] \ int \ left (\ nabla \ times H \ right) \ cdot d \ mathbf {l} = \ int \ left (J \ right) \ cdot d \ mathbf {S} [/ math]
Ahora, el rizo de H es simplemente el componente de H que rodea el borde del bucle, y el término J .d S es la integral de la corriente a través del bucle.
para que podamos identificar:
[math] \ int \ left (\ nabla \ times H \ right) \ cdot d \ mathbf {l} = 2 \ pi r H [/ math]
y:
[matemáticas] \ int J \ cdot d \ mathbf {S} = I [/ matemáticas]
lo que da:
[matemáticas] 2 \ pi r H = I [/ matemáticas]
o reorganizar y usar la relación entre B y H :
[matemáticas] B = \ frac {\ mu_0 I} {2 \ pi r} [/ matemáticas]
Esto proporciona la fórmula para el campo magnético a una distancia r de un cable infinitamente largo que lleva una corriente I
