Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies / s. ¿Que tan alto llegará? ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo?

Sea g la gravedad m sea la masa del objeto y c sea la resistencia supuestamente cuadrática. La ecuación diferencial se puede resolver por partes:
Int dv / [1-cv ^ 2 / mg] = gt + A
v (t) = [Aexp (z) -1) / (Aexp (z) +1)] / gam, gam = sqrt (c / gm)
Z = 2gam gt, A = [1+ gamv (0)] / [- gam v (0)]
A medida que t se extiende sobre reales positivos, también lo hace su exponente y se deduce que el punto externo viene dado por cuando la velocidad cambia de signo, en t = log (A) / 2gam g

Siempre observe su convención de signos cuando use las ecuaciones de movimiento de Newton. Siempre asumo positivo = arriba y negativo = abajo, por lo que la aceleración de la gravedad es * siempre * negativa:

[matemáticas] a_ {y} = – 32.2 \ frac {ft} {s ^ {2}} [/ matemáticas]

Comience con la siguiente ecuación de movimiento:

[matemáticas] V_ {f} ^ 2-V_ {i} ^ 2 = 2aS [/ matemáticas]

La velocidad inicial es positiva ya que estamos lanzando hacia arriba, por lo que [math] V_ {i} = + 80 [/ math]. La velocidad final será cero (cuando alcance el apogeo). Entonces la ecuación se convierte en:

[matemática] 0- (80) ^ 2 = 2 (-32.2) S [/ matemática]

[matemáticas] S = 99.4 pies [/ matemáticas]

Para determinar el tiempo en el aire, escribimos otra de las ecuaciones de Newton:

[matemáticas] S_ {y} = (v_ {i}) t + \ frac {1} {2} a_ {y} t ^ {2} [/ matemáticas] ————————— eqn 1

Si el objeto aterrizó debajo del punto de partida, entonces [math] S_ {y} [/ math] sería un número negativo. En su problema, el objeto aterriza en el punto de partida, por lo que [math] S_ {y} = 0 [/ math]

Además, dado que la velocidad inicial es hacia arriba, [math] (v_ {i}) [/ math] es positivo.

La ecuación 1 se convierte en:

[matemática] 0 = (80) t + \ frac {1} {2} (- 32.2 \ frac {ft} {s ^ {2}}) t ^ {2} [/ matemática]

dividir cada término por “t”

[matemáticas] 0 = 80 + \ frac {1} {2} (- 32.2 \ frac {ft} {s ^ {2}}) t [/ matemáticas]

t = 4.97 segundos

La altura máxima se alcanzará cuando la velocidad final V sea cero.
Usando la ecuación: V ^ 2-U ^ 2 = 2as
U = 80 pies / s
V = 0 pies / s
a = -32 pies / s ^ 2
agarrar S

para el tiempo use la ecuación: V – U = at
t = VU / a

A 32 pies / seg ^ 2, tomaría 2.5 segundos disminuir de 80 pies / sa 0 pies / s.
En ausencia de fricción, tomaría otros 2.5 segundos volver a bajar.
A una velocidad promedio de 40 pies / s durante 2.5 segundos, podría alcanzar los 100 pies.