No me queda claro cuál es la pregunta: ¿se pregunta por qué el campo en la órbita es proporcional al campo promedio, o por qué la constante de proporcionalidad es igual a 1/2?
Para responder por qué es una nota proporcional que, de acuerdo con la ley de inducción, el campo eléctrico que acelera electrones es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la órbita electrónica. El flujo a su vez es igual al campo promedio multiplicado por el área del círculo delimitada por la órbita. Por lo tanto, la tasa de cambio del momento de los electrones es proporcional a la tasa de cambio del flujo que, para un radio de órbita constante, es proporcional a la tasa de cambio del campo promedio. Comenzando con el momento cero con flujo cero, encontramos que el momento del electrón debe ser proporcional al campo magnético promedio dentro de la órbita. Por otro lado, el campo magnético necesario para mantener un electrón en órbita de radio constante es proporcional al impulso del electrón, por lo tanto, el campo guía en la órbita debe ser proporcional al campo promedio.
Ahora, ¿por qué 1/2? Básicamente porque la circunferencia si un círculo es [matemática] 2 \ pi r [/ matemática], mientras que el área es [matemática] \ pi r ^ 2 [/ matemática]. Por lo tanto, la fuerza eléctrica que acelera los electrones es
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[matemáticas] \ displaystyle F = qE = \ frac {q} {2 \ pi r} \ frac {d \ Phi} {dt} = \ frac {qr} {2} \ frac {d \ bar B} {dt} [/matemáticas].
Integrando da
[matemáticas] \ displaystyle p = \ frac {qr \ bar B} {2} [/ matemáticas].
Por otro lado, el radio de la órbita electrónica es
[matemáticas] \ displaystyle r = \ frac {p} {qB} [/ matemáticas],
así [matemáticas] B = \ bar B / 2 [/ matemáticas]
