Bueno, hasta cierto punto pueden, pero hacerlo los convierte en un átomo diferente. El número de protones (el número atómico) define qué elemento tienes. Uno para hidrógeno, dos para helio, tres para litio, etc. Si tiene un protón, entonces, por definición, tiene un átomo de hidrógeno, independientemente de si tiene neutrones o no.
El número de neutrones define qué isótopo de ese elemento tienes. Las tres cuartas partes de los elementos naturales existen como una mezcla de isótopos. La suma de protones y neutrones (el número de masa atómica) define su masa.
Entonces, si tuviera un átomo que de alguna manera ganó o perdió un protón, en realidad se convertiría en uno de sus vecinos inmediatos en la tabla periódica. Eso no sucede espontáneamente porque hay mucha energía ligada allí.
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La división de átomos más pesados se llama fisión y eso también libera átomos de los subproductos de fisión y algo de energía sobrante. Así es como funcionan las armas nucleares ordinarias y los reactores nucleares.
Agregar otro protón a un átomo de hidrógeno (que es lo que sucede en la fusión dentro de las estrellas, por cierto) le da un átomo de helio con algo de energía de unión adicional. En otras palabras, produce energía neta y algunos otros subproductos (rayos gamma, positrones, yada yada). Los metales más pesados se hacen dentro de las estrellas al continuar ese proceso fusionando elementos más pesados y pesados.