La velocidad de escape de un planeta es directamente proporcional a [matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {M / R} [/ matemáticas] [/ matemáticas], donde M es la masa del planeta y R es el radio. Asumiendo que el túnel está centrado alrededor del centro de masa del planeta, y que el planeta es esféricamente simétrico pero no está girando (si el planeta está girando, entonces sería arrojado alrededor del túnel y eso complicaría mucho las cosas), puede usar la propiedad de que la gravedad en cualquier punto solo depende de la cantidad de materia debajo de usted, y no depende en absoluto de la cantidad de materia sobre usted.
La fuerza de gravedad es [matemática] F = – \ frac {GMm} {r ^ 2} [/ matemática]
, donde M es la masa grande ym es la masa descendente más pequeña. Pero, dado que solo tiene que considerar la masa debajo de usted, entonces si el planeta en cuestión tiene una densidad fija, entonces podría decir
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[matemática] M = \ rho \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3, [/ matemática] donde ρ es la densidad. Entonces, mientras caes,
[matemáticas] F = – \ left (\ frac {Gm} {r ^ 2} \ right) \ left (\ rho \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ right) = – \ left (\ frac {4} {3} G \ rho \ pi \ right) mr [/ math].
Esto es análogo a la ecuación de primavera: [matemáticas] F = -kx [/ matemáticas].
Esto se puede resolver para ‘r’, y la solución resultará ser:
[matemáticas] r \ left (t \ right) = R \ cos \ left (t \ sqrt {\ frac {4} {3} G \ rho \ pi} \ right) [/ math], donde R es el radio de el planeta, yt es cuánto tiempo llevas cayendo.
La velocidad de la pelota estará dada por [matemáticas] v \ left (t \ right) = \ frac {d} {dt} r \ left (t \ right). [/ Math] Esta ecuación todavía depende de t, sin embargo , esto puede remediarse encontrando el primer valor distinto de cero de ‘t’ para el cual ‘r’ se convierte en 0 utilizando la ecuación de [matemáticas] r \ left (t \ right). [/ math] Este valor de ‘t’ ahora puede insertarse en la ecuación de [math] v \ left (t \ right) [/ math] para encontrar la respuesta. Sale a [matemáticas] v = -R \ sqrt {\ frac {4} {3} G \ pi \ rho}, [/ matemáticas] a medida que el término que contiene pecado (.) Se convierte en 1.
