Esta no es una pregunta fácil de responder. Proporciono el ‘Platonismo matemático y sus opuestos’ de Barry Mazur mientras intenta explicar La pregunta en términos platónicos y no platónicos. Usted ve si las matemáticas son un invento humano o un descubrimiento humano depende completamente de su perspectiva filosófica. Este es el caso con casi cualquier campo de esfuerzo, por lo que la filosofía y / o filosofía de la ciencia es casi un curso obligatorio en el nivel de posgrado de estudio.
¿Se descubren o inventan las matemáticas?
Me referiré a esto como La pregunta, reconociendo que esta oración de cinco palabras, que termina en un signo de interrogación, puede abrir conversaciones, pero no es más que una muestra, lo que significa desconcierto sobre el estado de las matemáticas. Una cosa es que creo que es incontestable: si te involucras en las matemáticas el tiempo suficiente, te topas con la pregunta, y no desaparecerá. Si deseamos rendir homenaje a la apasionada experiencia sentida que hace que pensar en matemáticas sea tan maravilloso, es mejor que le prestemos atención. Algunas disciplinas intelectuales están marcadas, incluso marcadas, por preocupaciones análogas. La antropología, por ejemplo, tiene una vasta, y tristemente introspectiva, literatura que trata sobre el enigma de si alguna vez podemos evitar, a sabiendas o no, fijar las plantillas de nuestra propia cultura en lo que sea que creamos que estamos estudiando: cuánto estamos descubriendo. ¿Cuánto inventar? [RW. Los antropólogos no se han estresado por esto en bastante tiempo. Uno de los problemas más difíciles que enfrentan los antropólogos culturales es determinar si su sujeto está proporcionando datos como los conoce o hechos según cree que el entrevistador desea escucharlos. Un antropólogo entrenado puede detectar su propio sesgo]. Tal perplejidad descubierta / inventada puede o no ser un problema candente para otras actividades intelectuales, pero arde extremadamente brillante para las matemáticas, y con una extrañeza que no coincide del todo cuando aparece en otros campos. Por ejemplo, si dijera, como Thomas Kuhn dijo una vez, “Priestley descubrió el oxígeno pero Lavoisier lo inventó” Creo que sé más o menos lo que quiere decir con esa expresión, sin que tengamos que sincronizar nuestros vocabularios privados terriblemente. Pero para comprender de manera inteligente las actitudes posiblemente diferentes de los demás hacia los círculos, triángulos y números, también tendríamos que llegar a una comprensión, aunque muy incompleta, de cómo vemos y hablamos mucho más que las matemáticas. Para mí, al menos, el ancla de cualquier conversación sobre estos asuntos es la experiencia de hacer matemáticas y de buscar ideas matemáticas. Cuando leo literatura que aparentemente trata sobre La pregunta, me pregunto si se conecta o no de alguna manera con mi experiencia sentida, y aún mejor, si revela algo al respecto. A menudo, tal vez siempre, estoy decepcionado. El aspecto extraño de la experiencia matemática, y esto es lo que le da tanta energía a The Question, es que uno siente (yo siento) que las ideas matemáticas pueden ser perseguidas, y de una manera que es esencialmente diferente de, digamos, la forma Actualmente estoy buscando la siguiente palabra para escribir para terminar esta oración. Uno puede ser cazador y recolector de conceptos matemáticos, pero no tiene palabras preparadas para la ubicación de los terrenos de caza. Por supuesto, los humanos estamos acosados con ilusiones, y la sensación que acabamos de describir podría ser otra. Puede que no haya ubicación. Hay al menos dos formas estándar de responder, si no exactamente, al menos a la Pregunta, ofreciendo un vocabulario de ubicación. Las etiquetas coloquiales para estas ubicaciones son In Here y Out There (que me parece que cubren el campo). La primera de estas actitudes estándar, la que tiene el logotipo In Here, que a veces se llama Kantian (¡pobre Kant!), Ubicaría la fuente de las matemáticas directamente dentro de nuestras facultades de comprensión. Por supuesto, las facultades (Verm¨ogen) y la comprensión (Verstand) son palabras cargadas del siglo XVIII y sería bueno, al menos en esta discusión, descargarnos lo más posible de su equipaje. Pero si este campo tuviera que elegir entre descubrimiento e invención, esas dos palabras demasiado frágiles, optaría por la invención.
La postura de “Afuera” con respecto a la pregunta de descubrimiento / invención cuyo símbolo heráldico es Platón (¡pobre Platón!) Es afirmar, con toda claridad, que las matemáticas son la explicación que damos de la arquitectura intemporal del cosmos. La misión esencial, entonces, de las matemáticas es la descripción precisa y la exfoliación de esta arquitectura. Este enfoque de la pregunta seguramente elegiría el descubrimiento sobre la invención. Las cosas extrañas tienden a suceder cuando piensas mucho en cualquiera de estas preferencias. Por ejemplo, si adoptamos lo que denominé la posición kantiana, deberíamos vigilar la palabra sigilosa “nuestro” en la descripción que di, oculta como está entre los gigantes del vocabulario (Verm¨ogen, Verstand). ¿Exactamente qué facultades se están describiendo? ¿Quién es el nosotros? ¿Estamos destinados a ser todos y cada uno de nosotros, dadas nuestras facultades separadas y quizás diferentes y a menudo defectuosas? Si cree que este es el caso, entonces se compromete a ver que la empresa matemática es tan variable como la humanidad. ¿O está imaginando algún tipo de destilado de todas las facultades reales, una facultad más trascendental, poseída por una especie de nosotros universales o ideales, en cuyo caso la visión kantiana parecería fusionarse con la platónica.
Si adoptamos la visión platónica de que se descubren las matemáticas, de repente estamos en un territorio sorprendente, ya que esta es una posición teísta de pleno derecho. No es que postule necesariamente a un dios, sino que su postura es tal que la única forma en que uno puede expresar adecuadamente su fe en él, la única forma en que uno puede esperar persuadir a otros de su verdad, es abandonando el arsenal de la racionalidad, y confiando en los recursos de los profetas. Por supuesto, los filósofos profesionales están en el negocio de formular posiciones antimetafísicas o metafísicas, decorticarlas, defenderlas y refutarlas. Sin embargo, los matemáticos pueden tener otro, o al menos un deber anterior, al tratar con la pregunta. Es decir, para ser meticulosos participantes / observadores, fieles al único aspecto de La Cuestión sobre el cual tienen derechos exclusivos: su propia experiencia imaginativa. ¿Qué describe, precisamente, nuestra experiencia interior cuando nosotros (y aquí somos nosotros y tú) buscamos ideas matemáticas? Deberíamos hacer esta pregunta con los ojos abiertos, permitiendo la posibilidad de que sea lo que sea lo que experimentemos, nos engañe para fabricar ideas sobre un marco más amplio, ideas que no tienen base. Sospecho que muchos de los matemáticos están tan insatisfechos con gran parte de la literatura existente sobre La Pregunta como yo. Para ser útil aquí, he compilado una lista de lo que se debe hacer y lo que no se debe hacer para futuros escritores que promuevan las persuasiones platónicas o antiplatónicas.
Para los platónicos, una consecuencia crucial de la posición platónica es que ve a las matemáticas como un proyecto similar a la física, los matemáticos platónicos son, como los físicos ciertamente son, descriptores o posiblemente predictores, no, por supuesto, del mundo físico, sino de algunos otra entidad más noética. Las matemáticas, desde la perspectiva platónica, tienen como objetivo, entre otras cosas, llegar a la descripción más fiel de esa entidad. Esta actitud tiene el curioso efecto de reducir algo de la urgencia de ese elemento básico de la vida matemática: prueba rigurosa. Algunos matemáticos piensan en la prueba matemática como el certificado que garantiza la confiabilidad y la formulación de la naturaleza de los bloques de construcción de los edificios que comprenden nuestras construcciones. Sin pruebas no hay bloques de construcción y edificios. Nuestros argumentos articulados paso a paso son los dispositivos que algunos matemáticos consideran responsables de hacer realidad las teorías en las que trabajamos. Esto no puede ser así para el ardiente platónico, o al menos no puede ser así en el de la misma manera que podría ser para los no platónicos. Los matemáticos a menudo se preguntan, y a veces lamentan, la laxitud de la prueba en la literatura de física. Pero creo que este tipo de lamentación se basa en un concepto erróneo, es decir, el malentendido de la función fundamental de la prueba en física. La prueba tiene principalmente (como debería tener, en física) un papel retórico: convencer a otros de que su descripción se mantiene unida, que su modelo es una reproducción fiel, y posiblemente persuadirse de eso también. Me parece que, en manos de un matemático que es un platónico determinado, la prueba podría muy bien servir principalmente a este tipo de función retórica, asegurándose de que la descripción esté en camino, y no (o al menos no necesariamente) tenga la La rigurosa función de desarrollo de la teoría a menudo se concibe como satisfactoria. Cuando leo un relato platónico de su punto de vista sobre las matemáticas, mi sensación es que, a menos que se aborden y examinen concienzudamente tales cuestiones relacionadas con la naturaleza de la prueba, obtengo una explicación superficial de la posición filosófica, y pierdo interés en lo que Estoy leyendo.
Sin embargo, la tarea principal del platónico que desea persuadir a los no creyentes es aprender el oficio, de los profetas y poetas líricos, de cómo comunicar una experiencia que trascienda el lenguaje disponible para describirlo. Si todo lo que vas a hacer es cantar credos sinónimos de “las formas matemáticas están ahí afuera”, algo que algunos orgullosos ensayos sobre el contenido del platonismo matemático deben hacer, bueno, eso no convencerá.
• Para los antiplatónicos hay muchas trampas. Una afirmación común, que pretende socavar las inclinaciones platónicas, es introducir en el debate el tema de las matemáticas como una actividad humana y culturalmente dependiente, y pensar que en realidad se está conversando sobre el tema en cuestión. Sin embargo, tenga en cuenta esto: si la búsqueda escribiera una descripción del Gran Cañón y si un Navajo, un Irlandés y un Zoroastrista decidieran escribir sus descripciones, puede apostar a que estas descripciones dependerán culturalmente, e incluso depende del estado de ánimo y la educación y el lenguaje de los tres descriptores. Pero el hecho de haber recitado todo este relativismo con respecto a las tres descripciones no socava nuestra fe firme en la existencia del Gran Cañón, su enfoque común. Del mismo modo, uno puede ser el matemático más etno-matemáticamente consciente del mundo, afirmando que toda nuestra escritura matemática depende de circunstancias efímeras como la lluvia de esta mañana, y aún puede ser el más devoto de los platónicos matemáticos. Ahora este escollo que acabo de describir es inofensivo. Si alguna vez encuentro este tipo de matemática es un argumento de actividad humana cuando leo un ensayo que pretende desactivar o desanimar el platonismo matemático, pienso para mí: ¡Actividad humana! ¿Qué más podría ser? Considero que esta parte del ensayo es irrelevante para la pregunta aquí considerada. Un segundo tema que parece haber capturado la imaginación de algunos antiplatónicos es el trabajo neurofisiológico reciente, un estudio del flujo sanguíneo en secciones específicas del cerebro, como si esto ofreciera una visión interna de las cosas. Bueno, quien sabe? La neuroanatomía y la química han sido útiles en algunas discusiones e inútiles en otras. Para mostrar que este tema es relevante, se requeriría una explicación precisa de cómo los patrones de flujo sanguíneo pueden refutar o corroborar una disposición platónica, o cualquier otra. ¡Un argumento satisfactorio de ese tipo sería una maravilla! Pero simplemente golpear las palabras flujo de sangre, como si fuera una mano de póker, en una página realmente no funciona. A veces, el matemático antiplatónico cree que el avance se logra al mostrar que el platonismo no es compatible por medios racionales, y que es una posición incoherente cuando se formula en un vocabulario proposicional. Es bastante fácil juntar oraciones proposicionales. Sin embargo, es mucho más difícil capturar una disposición platónica en una formulación proposicional que es una expresión completa y honesta de la visión de las cosas de un matemático de carne y hueso. Por supuesto, no hay nada malo en intentarlo, y tal vez sea un buen ejercicio. Pero incluso si ingeniosamente se nos ocurre una propuesta que esté a la altura de la tarea de expresar formalmente el platonismo, el simple hecho de que no se pueda demostrar que la proposición es verdadera no necesariamente la hará desaparecer. Hay muchas cosas, algunas verdaderas, algunas falsas, insostenibles por medios racionales. Por ejemplo, si me reta a apoyar, por medios racionales, mi afirmación de que soñé con Waikiki anoche, no podría. Entonces, ¿cuándo hay daño? Es cuando el ensayista se convierte en un nivelador. A menudo, esto sucede cuando el autor escribe extremadamente bien, de manera muy coherente, lentamente debilitando la posición platónica por, bueno, el brillante subterfugio de hacer que toda la discusión sea aburrida, hasta que yo, el lector, me convenza, aunque sea momentáneamente, en el marco de mi leyendo el ensayo, que no hay “gran cosa” aquí: la empresa matemática es precisamente como cualquier otra construcción cultural, y hay una falacia al acecho en cualquier afirmación de que es de otra manera. La pregunta no es una pregunta. Pero alguien que no está enamorado no logrará convencer definitivamente a alguien enamorado de la inexistencia de eros; así que este estado de ánimo nunca me supera por mucho tiempo. Afortunadamente, pronto lo abandono y recuerdo nuevamente el notable sentido de independencia, incluso autonomía, de los conceptos matemáticos, y la calidad trascendental, la singularidad y la pasión de hacer matemáticas. Resuelvo entonces que (Platón o Anti-Platón) sea lo que sea que crea sobre La Pregunta, mi creencia debe respetar a fondo y no ignorar todo esto.
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