Creo que probablemente sea más fácil voltear la pregunta y descubrir por qué la velocidad angular es igual a la velocidad lineal dividida por el radio:
[matemáticas] \ omega = \ frac {v} {r} [/ matemáticas]
A partir de ahí, es una simple manipulación algebraica. Un término mucho mejor para velocidad lineal aquí sería velocidad perpendicular , pero usaré su término esperando que coincida con el contenido de su clase. 🙂
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Lo primero que hay que reconocer es que la velocidad angular se define de manera un poco diferente a la velocidad lineal. Con velocidad lineal, tenemos:
[matemáticas] v = \ frac {dx} {dt} [/ matemáticas]
Este es un cambio en, digamos, metros por segundo . Entonces tenemos una medida real de distancia presente en la fórmula. Con velocidad angular, sin embargo, tenemos:
[matemáticas] \ omega = \ frac {d \ phi} {dt} [/ matemáticas]
Este es un cambio de ángulo por segundo que es una especie de medida relativa. Si queremos relacionar la velocidad lineal y angular, necesitamos alguna forma de ‘convertir’ ese ángulo en una distancia real. De hecho, una forma de verlo intuitivamente sería que multiplicar la velocidad angular por el radio ‘convierte’ los ángulos en una distancia adecuada, convirtiéndola en una velocidad lineal .
Examinemos eso un poco más rigurosamente usando esta imagen ordenada de la entrada de velocidad angular en Wikipedia:
Estamos interesados en los cambios en el ángulo [matemática] \ phi [/ matemática]. Aquí, [math] v _ {\ parallel} [/ math] y [math] v _ {\ perp} [/ math] son los componentes de la velocidad de la partícula cuyo movimiento angular queremos describir.
Primero, reconozcamos que [math] v _ {\ parallel} [/ math] no estará en este factor de conversión, ya que no puede ser responsable de un cambio en [math] \ phi [/ math]. No importa cuán fuerte tire de una cuerda hacia usted, no se moverá circularmente; para eso, necesitas un empuje “lateral” dado por [math] v _ {\ perp} [/ math] – ¡la velocidad lineal que mencionas! Por lo tanto, esta es la única velocidad que puede aparecer en nuestra fórmula más adelante .
(¿Ves por qué la velocidad perpendicular sería un mejor nombre?)
Ahora comencemos a derivar una fórmula específica al pensar en alguna partícula que complete un círculo completo (ya que nuestra fórmula debería mantenerse sin importar cuán lejos viaje). Se habrá completado un arco de [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] radianes durante un período de tiempo, por lo que obtenemos:
[matemáticas] \ frac {d \ phi} {dt} = 2 \ pi [/ matemáticas]
También se ha recorrido completamente alrededor de la circunferencia de un círculo, con una longitud [matemática] 2 \ pi r [/ matemática], en ese mismo período de tiempo. Ahora, sabemos que su velocidad alrededor de este círculo debe ser [matemática] v _ {\ perp} [/ matemática] de nuestro argumento anterior, por lo que obtenemos:
[matemáticas] v _ {\ perp} = 2 \ pi r [/ matemáticas]
Y a partir de ahí, es fácil dividir ambos lados entre [matemáticas] r [/ matemáticas] y formar la igualdad:
[matemáticas] \ omega = \ frac {d \ phi} {dt} = \ frac {v _ {\ perp}} {r} [/ matemáticas]
¡Qué reorganiza muy bien para responder a su pregunta! 🙂 Así que ahora que has visto las matemáticas, repasemos nuestro argumento nuevamente para resumir la intuición:
- Queremos expresar de alguna manera [math] \ omega [/ math] (un cambio en el ángulo por tiempo) como una velocidad ‘regular’ (un cambio en la distancia por tiempo)
- Esta debe ser su velocidad lineal (¡por extraño que parezca!), Ya que cualquier otra cosa no podría inducir un cambio de ángulo.
- Para un círculo completo, nuestro cambio total en ángulo es [matemática] 2 \ pi [/ matemática], y nuestro cambio total en distancia es [matemática] 2 \ pi r [/ matemática]
- Si nos tomáramos un tiempo [matemática] dt [/ matemática] para atravesar ese círculo, nuestras velocidades angulares y lineales serían [matemática] \ omega = 2 \ pi [/ matemática] y [matemática] v _ {\ perp} = 2 \ pi r [/ matemáticas]
- Por lo tanto, obtenemos [math] \ omega = \ frac {v _ {\ perp}} {r} [/ math]
Creo que el paso más difícil de todo esto es reconocer que la velocidad perpendicular es lo que te lleva alrededor del círculo. Es muy fácil caer en la trampa de pensar que es la velocidad de “línea recta” al mirar ese diagrama.
Realmente, sin embargo, se define como el componente de la velocidad perpendicular al segmento de línea formado entre ‘usted’ y el punto por el que gira. Si tiene velocidad angular, este segmento de línea está cambiando de orientación y, por lo tanto, también lo es la velocidad perpendicular, por lo que forma una trayectoria curva.
