Hice un comentario que alguien pensó que valía la pena guardar, así que lo estoy reescribiendo un poco y haciéndolo una respuesta.
Considere primero el caso de un campo más débil. Para campos gravitacionales débiles como el de la Tierra, el flujo del tiempo se ralentiza aproximadamente en proporción al potencial gravitacional. Un reloj en la Tierra muestra menos tiempo transcurrido que uno en el espacio profundo. Esta aproximación a la relatividad general es la razón por la que funciona aproximadamente como la gravedad newtoniana. Para una buena aproximación, la métrica es como en el espacio-tiempo de Minkowski pero con el componente g_00 reducido ligeramente en proporción al potencial (donde estoy haciendo que el tiempo sea la coordenada 0). Para una buena aproximación, las masas aceleran en la dirección del gradiente del potencial. Para una buena aproximación, la curvatura es proporcional al laplaciano del potencial, y la densidad de masa también es proporcional a la curvatura. (Debido a que se supone que las masas se mueven lentamente, solo hay un componente significativo del tensor energía-momento-estrés). La gravitación newtoniana no refleja ninguno de los otros efectos, y se puede formular para decir que hay un potencial cuyo laplaciano es proporcional (por la constante G y algún otro factor pequeño) a la densidad de masa, y que se comporta adecuadamente saliendo al infinito, y las masas se aceleran en la dirección del potencial más bajo.
Entonces, si imagina tener un reloj a 1000 km sobre la superficie de la Tierra, experimentaría una cierta dilatación del tiempo gravitacional. Si luego tuvieras dos Tierras orbitando entre sí a una distancia de 2000 km, y pusieras un reloj en el medio, sería una buena aproximación experimentar el doble de dilatación del tiempo (se desviaría de un reloj en el espacio profundo por el doble) .
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Cerca de dos agujeros negros donde el campo no es débil, la situación es más complicada pero más o menos lo mismo será cierto. Si los agujeros negros orbitan lo suficientemente lejos el uno del otro, el hecho de que sean agujeros negros y no solo estrellas de la misma masa no afecta mucho al campo. Estar en el pozo potencial de dos masas significa que estás más profundo en el pozo potencial y, por lo tanto, el efecto de dilatación del tiempo será más o menos como la suma del efecto de cada uno por separado.
Si está imaginando que los horizontes de eventos están muy juntos, y se mantiene cuidadosamente entre ellos, odiaría tener que calcular el efecto de dilatación del tiempo, pero me parece poco probable que no lo encuentre más versión intensa del efecto que tendrías al pasar una distancia similar sobre solo uno de ellos. Es correcto, como alguien señaló que si está a una distancia que tenía más del 50% de dilatación del tiempo en relación con uno, la dilatación neta del tiempo no podría ser simplemente la suma, porque no importa cuán cerca esté de los horizontes del evento, el cambio general en el tiempo transcurrido no puede ser superior al 100% independientemente. No sé si multiplicar por cada factor de dilatación por separado (por ejemplo, 75% en este caso) subestima o sobreestima el efecto neto. En primer orden son lo mismo. Asegúrese de salir de allí antes de que se fusionen los agujeros negros.
La dilatación del tiempo no es proporcional a la curvatura espacio-tiempo, que de todos modos es cero en el espacio vacío, porque el tipo de curvatura utilizada en la relatividad general es proporcional al tensor de tensión de momento-energía, que es cero en el espacio vacío (pero el la dilatación ocurre de todos modos si estás cerca de una masa). Tampoco es proporcional a la aceleración gravitacional (el gradiente del potencial), que puede cancelarse en un punto profundo de un pozo potencial. Si pusieras un reloj en el centro de la tierra, por ejemplo, el potencial tiene un gradiente relativamente pequeño allí, pero el potencial es bajo porque está todo el camino hacia abajo, y el reloj experimentaría más dilatación del tiempo gravitacional de lo que lo hace. Aquí en la superficie.
