Gran pregunta! La mayoría de los libros de texto de Relatividad general parecen deliberadamente oscuros. Creo que todo es tan “relativo” que los autores tienen miedo de decir algo definitivo, por temor a ser ridiculizados por algún error.
Por ejemplo, sabemos que la medición de la distancia radial alrededor de un objeto gravitante (como el sol) no coincide con la geometría del mundo plano (euclidiano). Parece haber un exceso de radio. Pero no tenemos forma de saber si se trata de una expansión del espacio o una contracción de objetos en la dimensión radial. ¡No es como si pudieras tirar de otro medidor a un lado para medir, porque estaría sujeto al mismo efecto!
La dilatación del tiempo es un poco más segura porque si las señales de reloj se transmiten por radio (y efectivamente los espectros de los átomos son tales), entonces no pueden almacenarse indefinidamente y deben salir a la velocidad en que se generan. Entonces podemos medir directamente la dilatación del tiempo en un campo gravitacional, desde lejos.
- ¿Cuáles son los seis 'números de curvatura espacio-tiempo' utilizados para describir la geometría del espacio?
- ¿Qué significa la curvatura del espacio alrededor de un cuerpo masivo en relatividad general? ¿Esta curvatura será la misma para todos los cuerpos alrededor de ese cuerpo masivo?
- ¿Tenemos evidencia de agujeros negros, ya sea aislados o en sistemas binarios, que se formaron en explosiones estelares?
- ¿Hay algo que pueda pasar por un agujero negro?
- ¿Qué cursos son necesarios para poder entender la teoría de la relatividad general?
A continuación se muestra una imagen que hice de la curvatura espacial, o dos dimensiones de todos modos. Esto se llama un “diagrama de embudo”.
En la parte superior se superpone un conjunto de coordenadas polares ordinarias, etiquetando los puntos A y B y la masa gravitante M. Ignorando los ángulos, podemos definir una relación entre el radio y la circunferencia r = C / 2π . Es posible que no podamos medir R directamente debido a los problemas de relatividad, pero supuestamente la circunferencia no está distorsionada, por lo que podríamos marcar estas coordenadas en R si tuviéramos un poco de “tiza espacial” (tal vez podamos usar algunas órbitas satelitales o algo).
Estas se denominan comúnmente coordenadas de Schwarzschild, aunque en realidad no fueron las utilizadas por Schwarzschild. Creo que tal vez Hilbert los adoptó. Alguien me corrija si sabes lo contrario. El radio es * no * la distancia que encontraría si marcara los medidores, ni la distancia que encontraría por radar. Cualquiera de estos sugeriría el segundo conjunto de coordenadas marcado “Diagrama usando longitudes apropiadas”. (Las longitudes adecuadas se miden en el marco de referencia local de un objeto).
El tiempo no se muestra en la imagen. Solo imagine que los relojes cerca de M funcionan más lentamente. Podría establecer una relación entre un intervalo de tiempo en nuestras coordenadas, por ejemplo, desde el punto de vista de A, un poco alejado, dt (delta t), y un intervalo en B dado por dτ , así dτ = dt [√ (1- 2GM / rc²)] . Eso es correcto asumiendo que no vamos muy rápido.
Llamemos a los intervalos de distancia locales ds , y esto tendría una componente radial local dl y una componente tangencial local dy . Llamemos a nuestra distancia radial correspondiente en las coordenadas de B dr . Suponemos que es tangencial a la circunferencia para que no haya cambios en esa dirección, y estoy hablando solo de deltas muy pequeños, por lo que la curvatura de C no importa para esto. Pero para el radio, dl = dr / √ (1-2GM / rc²) . Como las unidades radiales locales son más cortas o hay más espacio, lo que sea necesario, se necesitan más dl para hacer un cierto dr de lo que esperamos. Esto se llama “geometría diferencial”. La cantidad √ (1-2GM / rc²) es menor que uno.
La tercera fila de la figura muestra los medidores locales colocados a lo largo de un radio de extremo a extremo, a las longitudes que A les atribuiría utilizando la interpretación de que los medidores locales deben contraerse (más cortos que el propio medidor de A) para que quepan más ellos dentro de la circunferencia total.
La cuarta fila de la figura muestra la interpretación de expansión del espacio. Si A asume que las barras del medidor no cambian, y más de ellas tienen que encajar, debe haber más espacio. Dado que la ilustración está en una superficie plana euclidiana (la pantalla de su computadora), el espacio debajo de la línea de medidores se utiliza para contenerlos. También podría estar arriba o hacia ti fuera de la pantalla o alguna dimensión invisible. Solo sabemos lo que podemos medir, es decir, solo que hay más barras de medidor, no exactamente dónde están o incluso si todavía tienen la misma longitud o están contraídas.
Una distancia espacial local en una dirección arbitraria ds tendría una magnitud ds = √ (dy² + dr²) del teorema de Pitágoras. Usando las ideas del espacio Minkowsky de la Relatividad Especial, podemos hacer un ds que también incluya el tiempo (para esto, tendrá que leer sobre la relatividad especial y el espacio Minkowsky, lo siento): ds = √ (dy² + dl²-dτ² ) … o si cuadramos todo:
ds² = dy² + dl²-dτ²
No hay curvatura en eso. En coordenadas locales no podemos ver la curvatura. Pero si convertimos todo de nuevo a las coordenadas de A (Schwarzschild), tenemos:
ds² = dy² + dr² / (1-2GM / rc²) – dt² (1-2GM / rc²)
Si en lugar de dy queremos usar un ángulo dθ y queremos permitir 3 dimensiones espaciales, entonces tenemos coordenadas esféricas, y también ad φ , entonces usamos algunas relaciones trigonométricas y tenemos ds² = dy² + dz² + dr² / (1- 2GM / rc²) – dt² (1-2GM / rc²) que con las sustituciones trigonométricas y la inversión del orden se convierte en:
ds² = – dt² (1-2GM / rc²) + dr² / (1-2GM / rc²) + dy² + dz² =>
ds² = – dt² (1-2GM / rc²) + dr² / (1-2GM / rc²) + r²dθ² + r²sin (θ) ²dφ²
Bueno, eso es una boca llena. Pero si solo llegaste hasta dl = dr / √ (1-2GM / rc²), entonces obtuviste la deriva.
Al definir todo en términos de las coordenadas de Schwarzschild (coordenadas euclidianas de A), que no cambian, podemos describir un espacio que tiene factores de distancia y tiempo que cambian constantemente en relación con las coordenadas de Schwarzschild.
Si busca fórmulas en la web, tenga en cuenta varias cosas:
- Se pueden utilizar otras coordenadas que no sean Schwarzschild, la elección se considera arbitraria (lo que agrega complejidad innecesariamente, porque las leyes de conservación no se aplican en coordenadas no homogéneas)
- Con frecuencia, g00, g11, … o grr, gtt, … se utilizarán como coeficientes, por lo que debe recordar g00 = gtt = – (1-2GM / rc²) , etc.
Las coordenadas g son los cuatro elementos diagonales de una matriz 4 × 4 llamada tensor (en lugar de una matriz, por alguna razón), en particular el tensor métrico que define el espacio (métrica para medir). Para una solución simétrica estática, los elementos fuera de la diagonal son cero.
Si tiene curiosidad sobre cómo esto produce la gravedad, hay una pregunta en Quora donde se responde.
Oh sí, preguntaste sobre los agujeros negros. Ahí es donde tiene un radio lo suficientemente pequeño como para que r = 2GM / c², por lo que el término (1-2GM / rc²) va a cero y el tiempo se detiene. El recíproco va al infinito y hay un número infinito de unidades radiales locales en la unidad radial de A, por lo que el movimiento se detiene en las coordenadas de A y nada puede ir más allá. También hay preguntas sobre eso en Quora.
¿Estabas preguntando sobre dimensiones superiores? Eso fue sugerido en parte por la interpretación espacial ampliada de las mediciones. Pero principalmente por los esfuerzos para encontrar una descripción unificada de la gravedad y el electromagnetismo, que resultó ser posible en 5 dimensiones, algo llamado ecuación de Kaluza-Klein. Sin embargo, predijo efectos que no se vieron, y no se han encontrado más rastros de dimensiones superiores. La teoría de cuerdas postuló 11 dimensiones apretadas, evitando el problema con Kaluza-Klein, pero difícil de verificar. Así que no me tomo las dimensiones más altas demasiado en serio.
