Hay dos cosas pasando aquí. Primero, ¿por qué esperaríamos que un electrón pierda energía, cuando un sistema análogo, la Tierra que orbita alrededor del Sol, parece proceder sin pérdida de energía? Segundo, ¿cómo resolvió Bohr este enigma antes de que se desarrollara la teoría cuántica completa?
La primera pregunta se remonta a la teoría de la electrodinámica de Maxwell. La electrostática y la magnetostatica se habían entendido bastante bien durante algún tiempo. La electrostática nos informa sobre las cargas en reposo y sus efectos eléctricos, y la magnetostática nos informa sobre las corrientes constantes y sus efectos magnéticos. Pero, ¿qué pasa si una carga se acelera, por lo que ni la carga ni la corriente son constantes? Esta pregunta solo puede responderse con la teoría electrodinámica completa dada en las ecuaciones de Maxwell. La fórmula de Larmor, derivada del trabajo de Maxwell, dice que una carga aceleradora emite radiación con energía proporcional al cuadrado de su aceleración.
El resto del argumento lo puede hacer cualquier estudiante introductorio de física. Si un electrón orbita un núcleo, debe tener aceleración centrípeta. Según Larmor, eso significa pérdida de energía. El electrón compensaría la pérdida de energía girando en espiral hacia el núcleo, en escalas de tiempo demasiado cortas para ser correctas dadas nuestras observaciones de átomos estables.
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La solución de Bohr al problema es parte de la desordenada historia temprana de la teoría cuántica. Que yo sepa, Bohr no incorporó el concepto de ondas estacionarias; Este fue un avance hecho por De Broglie aproximadamente una década después. Presentaré el razonamiento que pudo haber sido presentado originalmente si estos dos hombres hubieran colaborado.
Clásicamente, la fuerza sobre un electrón en un átomo de hidrógeno es [matemática] ke ^ 2 / r ^ 2 [/ matemática]. La aceleración centrípeta es [matemática] v ^ 2 / r [/ matemática]. Usando la segunda ley de Newton, la velocidad de la órbita es [matemática] v = e \ sqrt {k / mr} [/ matemática]. Ahora, cambiando a la lógica de De Broglie, considere la hipótesis cuántica de la luz de Einstein, que implica que los fotones de longitud de onda [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] tienen un impulso [matemáticas] p = h / \ lambda [/ matemáticas]. ¿Por qué no invertir la relación y definir una longitud de onda para partículas de un momento dado? Entonces la longitud de onda del electrón sería [matemática] \ lambda = h / p = \ frac {h} {e \ sqrt {km}} \ sqrt {r} [/ matemática].
Ahora para el razonamiento crucial. ¿Qué pasa si una onda de materia podría interferir consigo misma? Entonces, la única forma en que el electrón podría persistir es si la circunferencia orbital es un múltiplo entero de su longitud de onda, lo que lleva a una interferencia constructiva. Resolviendo [matemáticas] 2 \ pi r = n \ lambda [/ matemáticas], encontramos [matemáticas] r = n ^ 2 a_0 [/ matemáticas], donde [matemáticas] a_0 [/ matemáticas] es el radio de Bohr (su expresión es dejado como ejercicio :)). Por lo tanto, tenemos una condición de cuantización para el radio, que evita la caída de Larmor.
