¿Cuál es la diferencia entre GMm / r versus mgh para la energía potencial gravitacional?

Ambos se refieren a la energía potencial gravitacional. En un contexto académico, para fines prácticos,

• use [matemática] U = mgh [/ matemática] para estudiar sistemas en la superficie de la Tierra desde el marco de referencia terrestre, con [matemática] U = 0 [/ matemática] en la superficie de la Tierra (es decir, bola que cae con masa m),
• y [matemática] U = GMm / r [/ matemática] en el marco centrado en la Tierra para los satélites en órbita terrestre, o en el marco centrado en el Sol para los planetas en órbita alrededor del Sol.

La aproximación mgh se basa en dos suposiciones clave que son ciertas, a saber, las siguientes:

[matemáticas] \ frac {m} {M} \ aprox 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {h} {R} \ aprox 0 [/ matemáticas]

Donde m = masa del secundario, h = altura sobre la superficie, M = masa del primario, R = radio del primario. En el caso de la Tierra, esto funciona bastante bien para la mayoría de los objetos con los que tratamos, ya que la Tierra es masiva y bastante grande en comparación con casi cualquier cosa a escala humana, por lo que estos supuestos son generalmente ciertos.

De manera similar, para la mayoría de los objetos pequeños con los que tratamos, podemos aproximarnos a la Tierra como un cuerpo rígido e ignorar la energía potencial residual de un objeto en su superficie ( h = 0 ).

Sin embargo, la otra ecuación es necesaria cuando se trata de objetos de masa relativamente grande en comparación con la Tierra, la Luna, por ejemplo, o cuando h es grande, como es el caso, por ejemplo, de los satélites. En esos casos, debe usar la fórmula completa o los errores en su aproximación volverán a morderlo.

Del mismo modo, cualquier sismólogo o ingeniero civil le dirá cuán peligroso es hacer suposiciones sobre la rigidez de la Tierra cuando las energías y las fuerzas involucradas son grandes.

La última fórmula ([matemática] U = mgh [/ matemática]) es una aproximación de la primera, válida para cuando una masa es muy grande y la otra es muy pequeña (por ejemplo, usted contra la tierra), y cuando el cambio las distancias involucradas también son relativamente pequeñas (por ejemplo, levantar un libro del piso a la mesa implica un cambio muy pequeño en la distancia del libro desde el centro de la tierra).