¿Qué tan cerca de la luna necesitaría un proyectil antes de que la gravedad lunar comenzara a atraerlo?

La gravedad no tiene ninguna limitación de distancia. Todos los objetos en el universo están bajo la influencia de la atracción gravitacional de todos los demás objetos en el universo. Por lo tanto, no hay una distancia mínima mágica a la que deba acercarse para que comience el efecto. Sentimos el tirón de la Luna incluso en la Tierra, como lo demuestran las mareas.

Sin embargo, si está hablando de capturar un proyectil, forzarlo a orbitar alrededor de la luna, o incluso forzarlo a chocar con la luna, entonces esa es una pregunta interesante, que equivale al “Problema clásico del cuerpo N”, donde Usted determina cómo evolucionan las trayectorias de los cuerpos en función de sus condiciones iniciales (masa,
posición y velocidad) bajo su combinación gravitacional
interacciones y las leyes del movimiento de Newton.

En una forma más simple, es el “problema restringido de 3 cuerpos circulares”, donde consideramos solo la Tierra, la Luna y el Proyectil y asumimos que la masa del Proyectil es insignificante. Esto fue resuelto por Euler:

http://en.wikipedia.org/wiki/Eul …

El proyectil debe llegar al menos al punto donde la atracción gravitacional de la Tierra es igual a la atracción gravitacional de la luna.

Asumiendo que el proyectil tiene una masa insignificante (m) con respecto a la masa de la Tierra (M) y la masa de la luna (M ‘) y descuidando la rotación del sistema Tierra-Luna alrededor de su centro de masa común, el problema se reduce para encontrar la distancia r desde la luna tal que:

[matemáticas] G \ frac {M’m} {r ^ 2} = G \ frac {Mm} {(dr) ^ 2} [/ matemáticas]

donde G es la constante gravitacional yd es la distancia entre la Tierra y la luna.

Resolver la ecuación para r da:

[math] r = d \ frac {\ sqrt \ alpha- \ alpha} {1- \ alpha} [/ math] donde [math] \ alpha = M ‘/ M [/ math] es la relación de masa de la luna a la Tierra.

Insertando el valor promedio para la distancia d Tierra-luna d, la relación de masa real y teniendo en cuenta el radio de la luna, el proyectil debe estar lo más cerca posible
~ 36’640km de la superficie de la luna (que es aproximadamente el 10% de la distancia entre la Tierra y la Luna)

Si se tiene en cuenta la rotación del sistema Tierra-Luna, entonces hay cinco puntos (llamados puntos lagrangianos [1]) en los que se podría colocar una masa insignificante que mantendría su posición con respecto a los dos cuerpos masivos que orbitan junto a ellos.

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Lag …