¡Esta es una gran pregunta! Realmente me hizo pensar.
En primer lugar, como dice Gideon Neeleman, el sistema solar interno está más o menos en el mismo plano porque la nube de gas que formó se aplastó durante su colapso gravitacional. Entonces los planetas se formaron a partir de esa nube aplanada. Permanecieron en el mismo plano porque no había perturbaciones lo suficientemente fuertes como para cambiar sus órbitas. En este caso, “lo suficientemente fuerte” significa “comparable a la atracción gravitacional del Sol en cada planeta”. Se necesitaría un acercamiento cercano de otra estrella para generar fuerzas tan grandes, y tales eventos son raros porque las estrellas están muy separadas.
Ahora, ¿por qué la nube de gas se aplanó en el primer caso? Primero, tenía un momento angular neto, lo que significa que estaba girando. En segundo lugar, el gas era lo suficientemente denso como para que los átomos chocaran con frecuencia. Las colisiones robaron preferentemente el gas del movimiento “hacia arriba” y “hacia abajo” con respecto al plano ecuatorial de la nube, y con el tiempo la nube se aplastó.
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Ahora para la nube de Oort. La densidad es mucho menor que la del sistema solar interno, por lo que las colisiones habrían sido mucho menos frecuentes. En algún momento, la densidad es tan baja que la nube nunca se aplana realmente. Creo que eso sucedió en la Nube de Oort (digo “Creo” porque no he hecho un cálculo o no he encontrado un documento sobre el tema, por lo que estoy especulando).
Además de eso, los objetos en la Nube de Oort sienten una atracción gravitacional mucho menor del Sol. Eso facilita que una estrella que pasa ejerza un tirón “comparable a la atracción gravitacional del Sol”. Entonces, las estrellas que pasan perturbarán las órbitas de los objetos de la Nube de Oort, y en general el efecto sería empujar las órbitas fuera del plano del sistema solar interno. Encontré una gran discusión de intercambio de pila sobre este punto en ¿Por qué la nube de Oort es esférica?
Espero que esto ayude.