Voy a ser voluntario Buddy, el muñeco de prueba de choque para este experimento mental.
Entendemos que la fuerza gravitacional entre dos objetos es proporcional a la inversa de la distancia al cuadrado entre los centros de sus masas.
[matemáticas] Fg \ propto \ displaystyle \ frac {1} {r ^ 2} [/ matemáticas]
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Desde una perspectiva matemática:
[matemáticas] \ lim {r \ to \ infty} \ displaystyle \ frac {1} {r ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
Entonces, si el universo solo tuviera dos cosas, un planeta y Buddy, habría una fuerza gravitacional en Buddy por parte del planeta, y una fuerza gravitacional en el planeta por Buddy, esto será importante pronto.
Hemos aprendido que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a su masa.
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {F} {m} = a [/ matemáticas]
También podemos escribir esto como:
[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]
La expresión completa de la fuerza gravitacional se ve así:
[matemáticas] F_g = G \ displaystyle \ frac {Mm} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Combinando los dos obtenemos:
[math] ma = G \ displaystyle \ frac {Mm} {r ^ 2} [/ math]
y, la aceleración del objeto debido a la gravedad de M como:
[matemáticas] a_b = G \ displaystyle \ frac {M} {r ^ 2} [/ matemáticas]
importante, la aceleración del planeta debido a la gravedad de Buddy como:
[matemáticas] a_p = G \ displaystyle \ frac {m} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces, en esta situación, tenemos el universo con este planeta de masa arbitraria, ocupándose de sus propios asuntos cuando Buddy aparece a una distancia [matemática] r \ aproximada \ infty [/ matemática].
Buddy comienza a acelerar hacia este planeta desde una velocidad inicial de cero con respecto al planeta – woohoo – ¡caída libre!
En esta etapa podemos usar las leyes de movimiento newtonianas, porque no nos hemos acercado a las velocidades relativistas.
[matemáticas] v_b (d) = 2 a_b d [/ matemáticas]
Aquí, d es la distancia que viaja Buddy.
[matemáticas] v_b (d) = G \ displaystyle \ frac {M} {r ^ 2} d [/ matemáticas]
También sabemos que en cualquier momento dado:
[matemáticas] r + d \ aprox \ infty [/ matemáticas]
Entonces, matemáticamente, Buddy puede caer libremente por el espacio durante mucho, mucho, mucho tiempo.
Nota al margen: también queremos abordar la aceleración del planeta hacia Buddy, porque las cosas se acumulan en un tiempo muy muy muy largo.
Ahora, comenzaremos a considerar la energía de un objeto, asegurándonos de no infringir ninguna ley de la física. Cerca de la medianoche, no tengo ganas de calcular la distancia inicial entre dos objetos para averiguar qué parámetros iniciales comenzaríamos a observar cifras comparables a la velocidad de la luz.
Desde la perspectiva de este universo, el que vivimos en realidad está bastante lleno.
La distancia máxima que cualquier cosa podría caer libremente estaría gobernada por la combinación de fuerzas gravitacionales sobre este objeto.
