¿Cuándo deja de rebotar una pelota que rebota?

Si define “rebote” como dejar el suelo por cualquier cantidad de tiempo, la pelota deja de rebotar cuando la energía elástica almacenada en la fase de compresión del rebote no es suficiente para superar el peso de la pelota.

Editar (13 de enero de 2012):
Ahora que miro mi respuesta publicada más de un año después, no estoy muy satisfecho con ella. Me imagino una mejor respuesta que va más o menos así:

La bola es como un oscilador armónico amortiguado cuando está en contacto con el suelo. Parte de la energía se disipa en las fases de compresión y descompresión. Si esta pérdida de energía es fraccional, es de esperar que la pelota rebote continuamente, aunque a alturas cada vez menores. En algún momento, la pelota debe dejar de rebotar por completo al igual que un bloque deslizante finalmente se detiene por completo.

Un bloque deslizante finalmente se detiene cuando el bloque se está volviendo lo suficientemente lento como para que el coeficiente de fricción con la mesa aumente rápidamente. Esta es la transición de la fricción cinética a la fricción estática. La resistencia interna de un objeto debe depender de qué tan rápido se comprime la pelota. Cuando es lo suficientemente lento, la resistencia interna “estática” es suficiente para evitar que la bola se descomprima completamente y salga del suelo.

Me interesaría saber lo que piensa la gente. Si crees que la segunda explicación es mejor, puedo reescribir toda esta respuesta.

Para responder a esta pregunta, consideremos que la bola y la superficie de contacto tienen un coeficiente de restitución de 0.5, y el experimento se realiza en un entorno de vacío. y la altura inicial de caída es de 1 metro. Y para simplificar aún más la ilustración, tomaré la gravedad g como 2 m / s ^ 2.

PREGUNTAS INTERESANTES PARA HACER:
1. ¿Alguna vez dejará de rebotar la pelota? Si lo hará, ¿cuándo?
2. ¿Cuántos rebotes hará la pelota antes de detenerse?
3. ¿Cuál es la altura total de los rebotes?
4. SI la primera altura de caída es 1 metro, ¿cuál será entonces la última altura?

MIS RESPUESTAS:
# 3 La pregunta más fácil de responder es la altura total de los rebotes. Las alturas de los rebotes forman una secuencia de números en progresión geométrica con una proporción común de 0.5.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… + 1 (1/2) ^ (n-1) +… = 2
La suma de las alturas es 2, usando la fórmula a1 / (1-r).

# 2 La serie de alturas es infinita, por lo que antes de detenerse, la pelota debe rebotar un número infinito de veces.

# 1 ¿La bola realmente se detendrá por completo al 100%? Basándonos en nuestras experiencias, observamos que la pelota que rebota se detendrá después de algunos períodos de rebote … razonamos que se debe a muchos factores, como la resistencia del aire, etc.
Incluso si se elimina la resistencia del aire y otros factores, dejando solo las condiciones que declaramos inicialmente, la pelota después de un período realmente se detendrá al 100%, será una PARADA TEÓRICA. Esto significaría que la pelota rebotará un número infinito de veces Y LUEGO PARARÁ.
Rebotar un número infinito de veces no significa rebotar para siempre.
El tiempo total en segundos que la pelota completará su número infinito de tareas de rebote se puede calcular a partir de sus alturas. Si H = altura, y T = tiempo.
H = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… = 2
T = sqrt (1) + sqrt (1/2) + sqrt (1/4) + sqrt (1/8) + sqrt (1/16) +… = 3.410879…

El tiempo de cada caída se calcula utilizando la fórmula d = (1/2) gt ^ 2. Y para simplificar, hacemos g = 2 m / s ^ 2, dándonos la expresión t = sqrt (d).
La pelota rebotó un número infinito de veces y se detuvo después de 3.410879 … segundo. Estoy muy seguro de que después de 3.42 segundos, el estado de la pelota está “completo en reposo” porque 3.42> 3.410879.

# 4. Si por algún poder, o por medios mágicos, puedo reducir mi auto de vez en cuando para tener una buena vista de cada rebote de la pelota, y con el mismo poder, puedo acelerar mis pensamientos para tenga en cuenta cada rebote, entonces, tal vez, no hay una última altura.

CONCLUSIÓN: La idea de que una solicitud infinita se completa en un tiempo limitado es extraña, pero real. Esta es la misma idea con el cálculo. Cuando calculamos la derivada de una función, al mismo tiempo realizamos un número infinito de tareas. Aunque no eres realmente tú quien realiza la tarea infinita, sino la lógica interna del cálculo. En el cálculo, cuando calculamos la derivada (pendiente en ese punto) usamos la pendiente de la línea secante. Luego, aproxima la pendiente de la tangente disminuyendo delta x de la línea secante. Si se hace manualmente, hacemos esto hasta que tengamos el valor suficiente para nosotros. Pero si se hace usando cálculo, devuelve un valor, no solo suficiente, sino también exacto.
Por ejemplo, deseamos encontrar la pendiente de la línea tangente a y = x ^ 2 en x = 1. ¡Encontraremos que es y ‘= 2 y ese es el valor exacto!
Aunque el libro de texto sobre cálculo nos enseña que solo se acerca a ese valor, y no realmente ese valor (como en el caso de los límites), pero todavía creo que la línea secante no solo se acercó a la línea tangente, sino que realmente coincidió con ella, lo mismo que con el caso de la pelota.

-Felix Zaulda Jr.