De hecho, tenemos cuatro dimensiones espacio-temporales, y el hecho de que la métrica no sea positiva positiva enriquece los tipos de geometría que podemos tener en nuestro universo (conocido). Sin embargo, en lugar de analizar los detalles de cómo es nuestro espacio-tiempo, consideremos un ejemplo de cómo el espacio-tiempo “curvado” puede estar en solo tres dimensiones.
Considere la esfera estándar (si quiere, una pelota de playa con una pared infinitamente delgada). Se define (en coordenadas cartesianas estándar) como el conjunto de vectores [matemática] \ vec {v} = x \ hat {i} + y \ hat {j} + z \ hat {k} [/ matemática] en [ math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] (espacio tridimensional “plano”) de modo que [math] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2 [/ math] para algunos [ matemáticas] R> 0 [/ matemáticas]. ¿Qué dimensionalidad asocias a la esfera?
Respuesta: dos dimensiones. La esfera de Riemann muestra cómo podemos mapear la esfera (menos un polo) a una superficie bidimensional: /main-qimg-04ec0a7662d6911649c90cd77cc085d0-c.jpg)
Además, tenga en cuenta que si “hacemos zoom” lo suficientemente cerca de la esfera, comenzará a verse como un plano plano. Los conjuntos de puntos que “localmente” parecen planos (es decir, si me acerco lo suficiente) y satisfacen algunos criterios topológicos (Hausdorff, segundo contable) se denominan múltiples topológicos . En el caso de la esfera, la ecuación definitoria tiene infinitas derivadas que son continuas; Además, la ecuación definitoria es lo que se conoce como una inmersión, de modo que la esfera es, de hecho, una variedad bidimensional , suave y diferenciable . Esto significa que podemos hacer todo el cálculo que conocemos y amamos en el espacio plano de la esfera. Los matemáticos denotan esta esfera “estándar” [matemáticas] S ^ 2 [/ matemáticas] porque es un objeto intrínsecamente bidimensional. Lo incorporamos en tres dimensiones, porque está curvado de tal manera que no podemos describir toda la esfera como un subconjunto de espacio plano.
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¿Estás de acuerdo en que esta esfera no es “plana”? Intuitivamente está curvado, pero se puede calcular el escalar de Ricci o la curvatura gaussiana (extrínseca) para mostrar que la esfera tiene una curvatura no nula.
Del mismo modo, podemos considerar la 3-esfera . Esto se define como el conjunto de vectores [matemáticas] \ vec {v} = x \ hat {e} _1 + y \ hat {e} _2 + z \ hat {e} _3 + w \ hat {e} _4 [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] (p. ej., espacio tetradimensional “plano”) que satisface la ecuación [math] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2 = R ^ 2 [/ matemáticas]. Nuevamente, esta es una variedad suave y diferenciable: ¡la única advertencia es que es una variedad múltiple! Es decir, se ve “localmente” como un espacio plano tridimensional. Por lo tanto, si me acerco lo suficiente, percibiré el espacio tridimensional. Esto nuevamente tiene una curvatura distinta de cero: es un espacio curvo que es intrínsecamente tridimensional .
Los matemáticos y físicos lucharon durante años para llegar a una definición “intrínseca” de dimensión (es decir, una que sea independiente del espacio en el que incrustan la variedad) y, a principios del siglo XX, matemáticos como Henri Cartan y Henri Poincaré pusieron la teoría de múltiples en una base más firme. Como tal, es bastante comprensible que “tridimensional” para la mayoría de las personas a menudo signifique “plano”, porque solo estamos percibiendo cosas “localmente planas” (en relación con el tamaño de las cosas en el universo).
De hecho, en la Relatividad general, la solución estática, isotrópica / esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein supone que la métrica del espacio-tiempo es de la forma,
[matemáticas] ds ^ 2 = -dt ^ 2 + ds_ {S ^ 3} ^ 2 [/ matemáticas]
donde [math] dt [/ math] es una coordenada de tiempo distinguida y [math] ds ^ 2_ {S ^ 3} [/ math] es la métrica redonda estándar en la esfera 3.
Aquí hay un par de recursos más fáciles de leer para comenzar si está interesado en comprender las cosas que cité un poco más formalmente:
[1] William Boothby, Una introducción a los colectores diferenciables . Esto está escrito para alguien con experiencia en ingeniería o ciencias e ignora algunos de los puntos matemáticos más finos; Proporciona una buena cantidad de intuición. Para un tratamiento matemático más completo, vea John M. Lee, Introducción a los colectores lisos (¡uno de mis GTM favoritos!)
[2] Robert M. Wald, Relatividad general. Wald es un libro GR relativamente independiente que no es tan intimidante como Gravitation . Sin embargo, proporciona menos intuición, aunque responderá su pregunta de Quora con mucho, mucho más detalle.
Editar: Como señala Matt Hogancamp, estoy asumiendo implícitamente el uso de una incrustación de una variedad en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] en el ejemplo que presento arriba. Si bien esto está totalmente justificado por el teorema de incrustación de Whitney, debo enfatizar (como lo hace Matt) que no es necesario incrustar para tener curvatura. Los manifolds se pueden definir independientemente de cualquier incrustación (de hecho, eso fue lo que los hizo poderosos como herramienta computacional / teórica) y la noción de curvatura intrínseca (curvatura de Ricci) que es independiente de la incrustación es fundamental para las ecuaciones de Einstein.
