Modelemos la Tierra y el Sol como esferas perfectas e ignoremos las distorsiones y reflejos atmosféricos. Debido a que el radio del Sol es más grande, más del 50% de la superficie de la Tierra está iluminada por la superficie del Sol.
Hay algunas aproximaciones simples que pueden acercarte al valor correcto. Si imagina que el Sol está directamente arriba en el ecuador en el primer meridiano, entonces a 90 grados Este u 90 grados Oeste, parecería que la mitad del Sol está en el horizonte. El diámetro visual del Sol es de aproximadamente medio grado (31,6 a 32,7 minutos), por lo que el radio es de aproximadamente un cuarto de grado. A medida que avanza hacia el oeste o el este, respectivamente, 1/4 de grado en el ecuador, el Sol se pondría. Eso sugiere que un cinturón de pi / 720 ~ 1/230 radianes en el otro lado del Sol todavía puede ver una astilla de Sol en el horizonte. Sin embargo, tenga en cuenta que esta imagen sería bastante incorrecta si el Sol y la Tierra tuvieran radios iguales. No es el centro del Sol el que estaría en el horizonte, sino un punto r desde el centro, donde r es el radio de la Tierra, y si el Sol y la Tierra tuvieran radios iguales, simplemente se establecería a 90 grados Oeste. Un error mucho más pequeño proviene del hecho de que el Sol no solo gira en el cielo a medida que te mueves a lo largo del ecuador, sino que se vuelve más pequeño a medida que te alejas. El cálculo exacto para el modelo esférico maneja estos efectos, y no es demasiado difícil.
Imagina un cono envuelto alrededor del Sol y la Tierra. Desde el vértice, la Tierra apenas eclipsaría al Sol, de forma similar a cómo la Luna puede eclipsar al Sol. Los puntos de la Tierra que se pueden ver desde el vértice constituyen menos de la mitad de la superficie, y estos son los puntos de la superficie de la Tierra que no pueden ver ningún punto del Sol, más el círculo límite que tiene un área 0.
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El radio del Sol es de 695,500 km. El radio de la Tierra r es de 6371 km. Entonces, la relación entre la distancia entre el vértice y la Tierra | VE | y la distancia entre el vértice y el Sol | VS | es 6371: 695,500 = 1: 109.2. La distancia entre la Tierra y el Sol | ES | varía de 1.471 x 10 ^ 8 km a 1.521 x 10 ^ 8 km. | VE | = | ES | /108.2, que varía de 1.360 x 10 ^ 6 km a 1.406 x 10 ^ 6 km, o de 213.4 a 220.6 veces el radio de la Tierra.
El radio angular de la Tierra desde el vértice es arcsin (r / | VE |), que varía de 1 / 213.4 a 1 / 220.6. Esto significa que un cinturón de ancho de aproximadamente 1/220 radianes en el hemisferio opuesto al Sol todavía puede verlo. El área de una tapa esférica de radio t es 2 Pi r ^ 2 (1-cos t), o (1-cos t) / 2 veces el área de toda la esfera. Entonces, la proporción de la superficie de la Tierra que no puede ver el Sol es (1-r / | VE |) / 2, mientras que la proporción que puede ver el Sol es (1 + r / | VE |) / 2. Eso oscila entre el 50.2343% de la superficie de la Tierra cuando la Tierra está más cerca del Sol y el 50.2266% cuando la Tierra está más alejada del Sol.
