Debe aprender la teoría de los pesos y, en particular, sobre las representaciones de mayor peso. Esto se explica en muchos libros de texto estándar sobre teoría de la representación, pero daré una breve descripción.
Los pesos, en mi opinión, se consideran mejor como personajes de un toro máximo en el grupo de Lie simplemente conectado correspondiente a su álgebra de Lie semimple. El punto es que el toro (por ejemplo, para SL (n, C), el toro consiste en matrices diagonales del determinante 1) es conmutativo , por lo que si tiene un representante del grupo de Lie ambiental, entonces, cuando se restringe al toro, debe descomponerse como una suma directa de representaciones unidimensionales. Las representaciones unidimensionales del toro corresponden a los puntos de una red. Para SL (n, C), la red es [math] \ mathbf {Z} ^ {n-1} [/ math], y una tupla [math] (a_1, …, a_ {n-1}) [/ math] corresponde al carácter que envía una matriz diagonal con entradas diagonales [math] t_1,…, t_ {n-1}, \ prod t_i ^ {- 1} [/ math] al número [math] \ prod t_i ^ {a_i} [/ math]. [Utilizo SL (n, C) como ejemplo porque SU (n) es su subgrupo compacto máximo, y básicamente tienen la misma teoría de representación.] Si lo prefiere, puede dar sentido a los pesos únicamente en términos de álgebra de Lie. usando la teoría del subalgebra de Cartan en lugar del toro máximo del grupo Lie.
Ahora puede ordenar el conjunto de pesos que se producen en cualquier representación; el más grande se llama el peso más alto. Dentro de la red de pesas, hay un cono de “pesas dominantes”; para sl (n, C) consiste en las tuplas con [math] 0 \ leq a_1 \ leq a_2 \ leq \ cdots \ leq a_ {n-1} [/ math]. Esto es importante porque un teorema crucial afirma que, dado un álgebra de Lie semisimple compleja, para cada peso dominante [matemática] a [/ matemática] existe una representación dimensional finita irreducible única con el mayor peso [matemática] a [/ matemática]. Los pesos fundamentales son un conjunto de pesos dominantes de modo que cualquier peso dominante es una combinación lineal entera positiva de los fundamentales. (También pueden considerarse como la base del dual del subalgebra de Cartan que es dual a los coroots simples, si está familiarizado con esos términos). El sentido en el que todos los irreps de su álgebra de Lie están “formados” de los fundamentales es el siguiente. Supongamos que dada una irrep [matemática] V [/ matemática] con el mayor peso [matemática] a = \ sum n_i \ omega_i [/ matemática], donde las [matemática] \ omega_i [/ matemática] son los pesos fundamentales,
correspondiente a representaciones fundamentales [matemáticas] V_i [/ matemáticas]. Entonces la irrep [math] V [/ math] ocurrirá en el producto tensor [math] V_1 ^ {\ otimes n_1} \ otimes \ cdots \ otimes V_ {r-1} ^ {\ otimes n_ {r-1}} [/matemáticas]. (El producto tensor en sí no es irreducible; la [matemática] V [/ matemática] que estamos buscando es su constituyente irreducible con el mayor peso más alto). Tal vez esto no parezca tan explícito, pero realmente dice que en un adecuado percibir las representaciones fundamentales generan el anillo (bajo producto tensorial) de todas las representaciones. Existe una teoría rica y hermosa de la combinatoria que describe cómo funciona esto en detalle. Para el caso particular de su (n), equivale a una interpretación teórica de la representación de la teoría de las funciones simétricas.
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Para cerrar, pensemos en tu ejemplo. Para su (3), que tiene rango 2, hay dos pesos fundamentales. Corresponden a la representación tridimensional estándar y su cuadrado exterior. Pero este último resulta ser dual para el representante estándar, por lo que el representante estándar se conoce razonablemente como “el” representante fundamental en este caso. En general, su (n) tiene pesos fundamentales n-1, correspondientes a los poderes exteriores no triviales de la representación n-dimensional definitoria. En términos más generales, puede encontrar descripciones explícitas de las representaciones fundamentales de varias álgebras de Lie simples escritas en varios libros; Recomendaría el de Fulton y Harris ( teoría de la representación: un primer curso ). Sin embargo, el ejemplo su (n) probablemente sea bueno tener en cuenta.
