Mis dos centavos con respecto a esto:
El grupo de transformaciones bajo el cual se preservan las ecuaciones de GR es mucho más grande que el grupo de Poincaré, que es todo lo que se requiere para la teoría cuántica de campos (claro, hay otras simetrías en el modelo estándar, pero son internas y más o menos como complementos al requisito universal básico de que la teoría esté intacta bajo los aumentos, rotaciones y traducciones de Lorentz). Ahora, las partículas pueden considerarse como representaciones del grupo de Poincaré, con un etiquetado en masa de cómo se transforma el campo correspondiente a la partícula bajo traslaciones y etiquetado de giro cómo se transforma bajo rotaciones y Lorentz aumenta (ver la respuesta de Arpan Saha a ¿Qué es el giro de partículas? Para algunos autopromoción descarada). Ahora, mientras el grupo de Lorentz admite representaciones de medio giro, el grupo completo de difeomorfismos que GR debe respetar no lo hace. Entonces, ingenuamente hablando, uno se vería obligado a concluir que no hay forma de describir los neutrones que se mueven en un campo gravitacional simplemente porque los neutrones son la mitad de rotación. Pero sabemos que eso es una tontería. Los neutrones no se encuentran en ningún tipo de dilema existencial cuando se enfrentan a campos gravitacionales (y, francamente, viven muy felices en él, muchas gracias), por lo que tiene que haber una manera de hablar de ellos de manera consistente con GR . Y aquí es donde entra el formalismo de Palatini.
Esto es lo que se hace esencialmente: el grupo de Lorentz se distingue de todo el grupo de difeomorfismos al hablar en términos de un campo de marco ortonormal local llamado vierbein. No pasa nada realmente lujoso: todo lo que acabamos de hacer es introducir cuatro campos de vectores en el múltiple espacio-tiempo de tal manera que en cada punto los vectores formen una base ortonormal. Pero ahora podemos agrupar la mayoría de los difeomorfismos en la infinidad de opciones disponibles para los campos de marco y centrarnos solo en las transformaciones locales de Lorentz del marco ortonormal en cada punto. Como solo está viendo transformaciones locales de Lorentz, puede hablar de representaciones de medio giro. ¡Y voilá! Lo siguiente que sabes es una variedad con hiladores que se vuelven locos *.
- ¿Qué es la fuerza gravitacional? ¿Cómo se usa?
- ¿Cómo cambia la gravedad con la distancia entre objetos en 4 dimensiones?
- Si Sun y Alpha Centauri de repente se volvieran inmunes a la gravedad durante 10 años, ¿qué pasaría después?
- ¿Cuánto tiempo tardan en colisionar dos objetos de 100 kg a una distancia de 1 km en el espacio?
- Si la energía gravitacional se calcula por Eg = mgh, ¿cuál es la altura en un caso realista?
Hay otra razón algo más técnica por la cual el formalismo de Palatini es tan útil. Es difícil cuantizar una teoría cuya lagrangiana involucra raíces cuadradas (la acción de Hilbert-Einstein contiene la raíz cuadrada del determinante de la métrica). El mismo problema surge cuando intentas trabajar con la acción Nambu-Goto para cuerdas bosónicas, que al ser el área de la hoja del mundo trazada por la cadena que se propaga en el tiempo también implica una raíz cuadrada del determinante de la métrica inducida en la hoja del mundo. La solución consiste en introducir un nuevo campo dinámico ficticio para ‘absorber’ la raíz cuadrada. En el caso de la teoría de cuerdas bosónicas, esto se hace usando la acción de Polyakov y en el caso de GR, esto se hace a través de la acción de Hilbert-Palatini. No es que el formalismo de Palatini mágicamente haga desaparecer todas las dificultades, pero definitivamente es la puerta de entrada para cuantificar la gravedad de una manera canónica.
* Una advertencia no tan menor aquí. No todos los colectores admiten campos de spinor ya que podría haber algún tipo de obstrucción topológica a esto. Consulte los artículos de Wikipedia sobre la estructura de rotación y la clase Stiefel – Whitney para obtener más detalles.
