La ley de Gauss es útil para calcular el campo eléctrico, un campo vectorial que describe la fuerza de una carga de prueba positiva se sentirá si se coloca en un punto particular en el espacio debido a que la fuerza eléctrica. (Puede visualizar la fuerza eléctrica como un grupo de flechas dirigidas.) El campo debido a una carga puntual tiene una forma muy simple: [matemática] E_ {carga} = kq / r ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] q [/ math] es la carga en Coulombs de la carga puntual, [math] k [/ math] es una constante, aproximadamente 9 x 10 ^ 9 [math] N m ^ 2 / C ^ 2 [/ math], y [ matemática] r [/ matemática] es la distancia desde la carga. (Por lo tanto, el campo eléctrico tiene unidades de Newtons por culombio). Esta es una ley del cuadrado inverso que es análoga a la ley de gravitación de Newton con la notable diferencia de que tanto la repulsión como la atracción son posibles dependiendo del signo de la carga. Sin embargo, el uso de esta ley es engorroso para el cálculo del campo eléctrico debido a volúmenes más complejos que un punto (o unos pocos) en el espacio. En tales casos, la Ley de Gauss puede ser muy útil.
El supuesto clave de la ley de Gauss es que el flujo eléctrico total que pasa a través de una superficie que abarca una carga es directamente proporcional a la carga. Esto parece razonable, ya que las líneas de campo “emanan” de una carga parecerían sólo para confiar en que la carga y nada más. (Tenga en cuenta que por el flujo nos referimos a la integral de superficie del campo.) Podemos reescribir esto utilizando la divergencia; la divergencia es el límite de la integral de superficie al volumen como una superficie “colapsa” en un punto, por lo que la integración de la divergencia a través de un volumen de resultados con la integral de superficie.
Para resumir, [math] \ int_A = Cq_ {enc} [/ math], donde [math] E [/ math] es el campo eléctrico y [math] dA [/ math] es un vector unitario normal al plano tangente en un punto de la superficie. ¿Cómo calculamos [matemáticas] C [/ matemáticas]? Considere una esfera de radio [matemática] R [/ matemática] alrededor de la carga puntual: mediante la ley del cuadrado inverso antes mencionada, sabemos que el campo es constante en ese punto, y [matemática] \ int_A [/ matemática] es [matemáticas] 4 \ pi r ^ 2 kq / r ^ 2 [/ math] y por lo tanto [matemáticas] C [/ math] es [matemáticas] 4 \ pi k [/ matemáticas].
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Resulta que es posible aplicar esto a otras geometrías de manera bastante simple. Consideremos un cilindro cargado con radio [matemática] r [/ matemática] y altura [matemática] h [/ matemática] y una densidad de carga de [matemática] \ rho [/ matemática] en unidades de [matemática] C / m ^ 2 [/matemáticas]. Considere envolver el cilindro con una superficie cilíndrica más grande de radio [matemática] R [/ matemática]. Suponiendo que todo del flujo pasa a través del cilindro, por la ley de Gauss tenemos la relación [matemáticas] 4 \ pi k (2 \ pi rh \ rho) = E2 \ pi Rh [/ matemáticas]. Simplificar que derivar que el campo tiene magnitud [matemáticas] 4 \ pi k \ rho R / R [/ math].
