Esto va a ser difícil, porque involucra algunos cálculos vectoriales. Haré todo lo posible para explicarlo de manera intuitiva.
En primer lugar,
- Los campos magnéticos son generados por corrientes eléctricas. (*)
- Los campos magnéticos “rizo en torno a” las corrientes que los producen, en una dirección dada por la regla de la mano derecha. Pero no se enroscan en regiones del espacio que no contienen corriente. Si sigue un bucle de flujo magnético en todos los sentidos, que siempre rodea una corriente (o tal vez más de uno).
- Cuanto mayor es la corriente, más fuerte es el campo magnético que genera. La intensidad del campo magnético es proporcional a la corriente.
La Ley de Ampère une estos conceptos, en una de dos formas matemáticas.
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Ahora, el campo magnético alrededor de una corriente constante que fluye a través de una apariencia de alambre largo, recto o menos así: 
El campo se vuelve más intenso cuanto más te acercas al cable.
La forma integral de la Ley de Ampère utiliza el concepto de integral de línea. Básicamente, se selecciona alguna de bucle (es decir, un camino cerrado por el espacio), y el paseo a lo largo del bucle, y se agrega el componente del campo magnético a lo largo de la dirección en la que está caminando en Representamos esto como sigue:. [Matemáticas] \ oint \ vec {B} \ cdot d \ ell [/ matemáticas]. Esto representa cuánto se curva el campo magnético alrededor de la superficie encerrada por el bucle. La afirmación es que esta cantidad es proporcional a la corriente total encerrada por el bucle.
Para entender esto, considerar primero un bucle que rodea el alambre, siguiendo una de las líneas de flujo magnético en rojo mostradas en el diagrama de arriba. Mientras sigue el lazo alrededor del alambre, el campo magnético siempre va a apuntar en la misma dirección que usted está caminando, lo cual significa que el valor total de la integral de línea será positiva. ¡Esto te dice que has caminado alrededor de una corriente! Además, puede determinar la dirección de la corriente utilizando la regla de la derecha. Si la corriente había fluido en la otra dirección, el valor de la integral de línea tendría su signo volteado, y por lo tanto sería capaz de decir que la corriente fluye en la otra dirección.
Ahora suponga que tiene que hacer un bucle que no encierra el cable, sino que hace un círculo en sentido antihorario sobre el cable, por ejemplo. Luego, a medida que viaja por la parte inferior del bucle, en su mayoría irá en contra de la corriente, por lo que la contribución a la integral de la línea será negativa. Pero cuando viaja por la parte superior del circuito, en su mayoría irá en la misma dirección que la corriente, por lo que la contribución será positiva. En total, se cancelarán exactamente y obtendrá cero. Esto le indica que no hay corriente neta dentro del bucle (o no hay corriente en absoluto, o las corrientes que viajan en direcciones opuestas se cancelan entre sí).
Esta es una demostración de la noción intuitiva de que el campo magnético se enrolla alrededor del cable, pero no se curva alrededor de una región del espacio por la que no pasa el cable.
En unidades SI, escribimos
[Matemáticas] \ oint \ mathbf {B} \ cdot d \ ell = \ mu_0 I [/ math]
donde [math] \ mu_0 [/ math] es una constante de proporcionalidad, similar a [math] G [/ math] en la ley de gravitación de Newton; y [matemática] I [/ matemática] es la corriente dirigida total encerrada por el bucle (recuerde que la corriente cuenta como negativa si apunta en la dirección “incorrecta”, según lo determinado por la regla de la mano derecha).
Para hacer esto matemáticamente más preciso, podríamos elegir una superficie orientable; llamémoslo [math] S [/ math], y usemos para el bucle el límite de la superficie, [math] \ partial S [/ math]. Entonces, el valor [matemáticas] I [/ math] es realmente la densidad de corriente total que pasa a través de la superficie. Entonces, el lado derecho también se puede escribir en una forma integral:
[matemáticas] \ oint _ {\ parcial S} \ mathbf {B} \ cdot d \ ell = \ mu_0 \ int_S \ mathbf {J} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} \, da [/ math]
donde [math] \ mathbf {\ hat {n}} [/ math] es el vector unitario normal a la superficie con la dirección determinada por la regla de la derecha, y [math] da [/ math] es un elemento infinitesimal de superficie zona. Ahora bien, si los puntos actuales de la dirección “equivocada”, entonces su producto escalar con el vector unitario normal serán negativos, lo que de nuevo va a hacer una contribución negativa.
La forma diferencial de la ley de Ampere utiliza el concepto del rotacional de un campo vectorial. El rizo es una medida cuantitativa de cuánto se “curva” un campo vectorial en un punto dado. La idea es que si se toma cada vez más pequeños bucles alrededor de un punto, y a calcular la integral de línea que el anterior, el resultado debería ser aproximadamente proporcional al área de la espira. La constante de proporcionalidad es el rizo.
En el diagrama anterior, si está fuera del cable y toma un bucle que no contiene el cable, la integral de la línea siempre será cero. Entonces, a medida que reduce ese ciclo cada vez más, siempre será cero. La constante de proporcionalidad será cero y, por lo tanto, el rizo será cero (para ser precisos, el vector cero). Pero si está dentro del cable, no importa cuán pequeño sea el bucle que tome, va a tener algo de corriente fluyendo a través de él. La idea es que para un bucle infinitesimalmente pequeño, solo la densidad de corriente en ese mismo punto va a estar “dentro” y, por lo tanto, solo la densidad de corriente en ese punto determinará el valor de la integral de línea. Por lo tanto, el rizo debe ser proporcional a la densidad de corriente en un punto dado, ya que está relacionada con el valor de la integral de línea alrededor del bucle infinitesimal. Nosotros escribimos:
[math] \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_0 \ mathbf {J} [/ math]
donde [math] \ nabla \ times [/ math] denota el rizo.
Las formas diferenciales e integrales de la Ley de Ampère son equivalentes, lo que se puede mostrar aplicando el teorema de Stokes. Esencialmente, la forma diferencial es la versión infinitesimal de la segunda ecuación en la sección “forma integral” anterior. Pero el teorema de Stokes es un tema para otra pregunta.
(*) Nota: estoy descuidando la corrección de Maxwell a la Ley de Ampère, que explica la generación de campos magnéticos al cambiar los campos eléctricos.
