No puede haber diferencia en las leyes físicas , de lo contrario se violaría el principio de relatividad (que suponemos que es correcto). Esto básicamente significa que las partículas que salen de la colisión serán las mismas , sin importar desde qué marco de referencia las observe. Por ejemplo, si una colisión produce dos electrones, siempre observará dos electrones, sin importar en qué marco de referencia se encuentre.
Dado que, por definición, la diferencia entre dos cuadros de referencia inerciales solo puede ser una diferencia en la velocidad relativa, la única diferencia que observará en las partículas entrantes y salientes en una colisión es una diferencia en su energía y momento (que ambos dependen en velocidad).
Considere, por ejemplo, la dispersión de Bhabha, que es una colisión de un electrón y un positrón que produce otro par de electrones y un positrón. A modo de ilustración, aquí están los diagramas de Feynman de orden principal: 
En el marco del centro de masa , o más exactamente el marco del centro de momento, el electrón entrante y el positrón tendrán el mismo momento, pero con un signo diferente, digamos [math] \ mathbf {p} [/ math ] para el electrón y [math] – \ mathbf {p} [/ math] para el positrón. Recordemos la relación relativista [matemática] E ^ 2-p ^ 2 = m ^ 2 [/ matemática]. Como [math] p ^ 2 = | \ pm \ mathbf {p} | ^ 2 [/ math] y [math] m ^ 2 [/ math] son iguales para ambas partículas, esto significa que [math] E ^ 2 [/ math] también debe ser el mismo, y dado que la energía siempre es positiva en la dispersión de partículas, ambos tendrán energía [math] E [/ math]. Los cuatro momentos de ambas partículas serán [math] (E, \ mathbf {p}) [/ math] para el electrón y [math] (E, – \ mathbf {p}) [/ math] para el positrón .
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Después de la colisión, a partir del mismo razonamiento que el anterior y debido a la conservación de la energía, el electrón saliente y el positrón tendrán los mismos cuatro momentos hasta la dirección de los vectores de momento; en general, los momentos salientes pueden estar en cualquier dirección, pero aún deben ser de signo opuesto y tener la misma magnitud.
En el marco del laboratorio , supongamos que el electrón está en reposo con respecto al laboratorio y que el positrón se está moviendo. Entonces el electrón tendrá cuatro momentos [matemática] (m, \ mathbf {0}) [/ matemática], ya que su energía es [matemática] E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 [/ matemática], pero [ matemática] p = 0 [/ matemática] ya que está en reposo, entonces [matemática] E = m [/ matemática]. El positrón, por otro lado, se está moviendo, por lo que tendrá algo de impulso de cuatro [matemáticas] (E_0, \ mathbf {p} _0) [/ matemáticas].
La relación entre [math] E_0, \ mathbf {p} _0 [/ math] en el marco de laboratorio y [math] E, \ mathbf {p} [/ math] en el marco de COM es fácil de calcular. Te lo dejo como ejercicio 🙂
Después de la colisión, ya no hay razón para que ninguna de las partículas esté en reposo. Sus cuatro momentos serán [matemática] (E_1, \ mathbf {p} _1) [/ matemática] y [matemática] (E_2, \ mathbf {p} _2) [/ matemática], con la única restricción, debido a la conservación de energía e impulso, siendo que [math] E_1 + E_2 = E + m [/ math] y [math] \ mathbf {p} _1 + \ mathbf {p} _2 = \ mathbf {p} _0 [/ math].
Puede ver que los cálculos en el marco COM en general serán mucho más simples ya que hay menos variables que deben tenerse en cuenta. De hecho, generalmente elegimos el marco COM para los cálculos de amplitudes de dispersión. Una excepción notable es la dispersión de Compton, donde el marco de laboratorio (en el que el electrón está en reposo) simplifica los cálculos. Vea el artículo de Wikipedia, y para un tratamiento mucho más detallado, el libro de texto QFT de Peskin & Schroeder, páginas 158-169.
