¿Qué tan pequeña debería ser la masa de la Tierra para que una persona promedio pueda escapar de su órbita saltando?

Esta es una pregunta interesante. Entonces, lo que necesitamos encontrar es cuándo coincidiría la velocidad de escape de la Tierra con la velocidad inicial del salto de un humano promedio.

Primero, ¿cuál es la velocidad de salto inicial del humano promedio? Bueno, desde este sitio ¿Cómo se mide? la altura promedio de salto varía según la edad de 11 a 20 pulgadas, ya que 20 pulgadas es aproximadamente un pie y medio, hagamos los cálculos más fáciles y digamos que el humano promedio puede saltar 0.5 metros. Por un simple balance energético sabemos que la energía cinética inicial del salto tiene que ser igual a la energía potencial a la altura máxima del salto. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación:

[matemáticas] \ frac {1} {2} mv_j ^ 2 = mgh_j [/ matemáticas]

Al reorganizar la ecuación, obtenemos que la velocidad de salto inicial es:

[matemáticas] v_j = \ sqrt {2gh_j} = \ sqrt {2 * 9.81 * 0.5} = 3.132 m / s [/ matemáticas]

Entonces, el humano promedio tiene una velocidad de salto inicial de 3.13 m / s. Bueno, ahora tenemos que descubrir cuánto necesitamos reducir esa masa de la Tierra para que su velocidad de escape coincida con nuestra velocidad de salto inicial. Desde la velocidad de escape, la velocidad de escape se puede expresar como se muestra a continuación:

[matemáticas] v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} [/ matemáticas]

Ahora puede ver que la velocidad de escape depende de la masa de la tierra y la distancia de nuestro puente desde el centro de la masa de la tierra. Ahora, si consideramos que la Tierra es aproximadamente esférica con una densidad constante, entonces podemos reescribir la ecuación como tal:

[matemáticas] v_e = \ sqrt {2G \ rho (4/3) \ pi r ^ 3} [/ matemáticas]

Entonces, la velocidad de escape dependerá del radio de la tierra y la densidad de la tierra. Si en este escenario la densidad de la Tierra sigue siendo la misma y, en cambio, colocamos partes de la Tierra en el espacio hasta que alcancemos la velocidad de escape deseada, entonces la única variable es el cambio en el radio de la Tierra de sacar la Tierra al espacio. Entonces el radio en el cual la velocidad de escape sería igual a nuestra velocidad de salto sería:

[matemáticas] r_j = \ frac {v_j} {\ sqrt {2G \ rho (4/3 \ pi)}} = \ frac {3.132} {\ sqrt {2 * 6.67e-11 * 1.333 * 3.1415)}} = 132.5km [/ matemáticas]

Dado que el radio actual de la Tierra es de 6.371 km, eso significaría que tendríamos que reducir la masa de la Tierra en un factor de 9 * 10 ^ -6 de su masa original de 5.972 * 10 ^ 24 kg, lo que significa que la Tierra debe reducirse a una masa de 5.375 * 10 ^ 19 kg con un radio de 132.5 km para que una persona promedio alcance la velocidad de escape saltando.