La importancia de la temperatura de Debye radica en la imagen más grande del modelo de Debye, que es esencialmente un análogo de estado sólido de la ley de Planck (ver también ¿Qué es una explicación intuitiva de la ley de Planck de la radiación de cuerpo negro?),
donde se modelan las vibraciones atómicas en los fonones en un sólido de la misma manera que la radiación en un gas fotón.
En la derivación de la ley de Planck, uno encuentra que la energía total de los fotones viene dada por:
[matemáticas] U = \ pi \ int_0 ^ \ infty dn \, n ^ 2 \ frac {\ hbar \ omega_n} {e ^ {\ frac {\ hbar \ omega_n} {\ tau}} – 1} [/ math]
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donde los [math] \ omega_n [/ math], que corresponden al rango de frecuencias de los modos sobre los que se está integrando, se dan en función de [math] n [/ math] por:
[matemáticas] \ omega_n = \ frac {n \ pi c} {L} [/ matemáticas]
Sin embargo, en los casos de los fonones, el número de modos en un sólido está limitado por [matemáticas] 3N [/ matemáticas], donde [matemáticas] N [/ matemáticas] es el número de átomos en el sólido. Cuando se calcula la integral análoga para el fonón, se necesita resolver un parámetro para el límite superior de la integral, usualmente denotado [math] n_D [/ math]. Después de realizar las sustituciones necesarias para hacer que la integral no tenga dimensiones, se encuentra que este parámetro (ahora [math] x_D [/ math] para enfatizar la falta de unidades) se puede expresar de la siguiente manera:
[matemáticas] x_D = \ frac {\ theta} {T} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] T [/ matemáticas] es la temperatura del sólido en Kelvin, y
[matemáticas] \ theta = \ frac {\ hbar v} {k_B} \ sqrt [3] {\ frac {6 \ pi ^ 2N} {V}} [/ matemáticas]
donde [math] v [/ math] es la velocidad del sonido en el sólido (análoga a la velocidad de la luz que aparece en la derivación de un gas fotónico). La cantidad [math] \ theta [/ math] se conoce como la temperatura de Debye. ¿Entonces qué nos dice esto?
Bueno, básicamente, cuando [math] T \ ll \ theta [/ math] (generalmente es suficiente para que [math] T [/ math] sea un orden de magnitud más pequeño) se puede hacer la aproximación al calcular la integral que la parte superior límite es infinito y, por lo tanto, deriva una solución analítica a la energía de los fonones en el sólido (y, por lo tanto, también a la capacidad de calor, que es solo la derivada de la temperatura de la energía total).
