¿Hay alguna fórmula que pueda usar para descubrir el tamaño de una curvatura en el espacio-tiempo dependiendo de la masa de un objeto?

Las fórmulas de Eliezer tienen que ser de raíz cuadrada para dar la relación espacial. La métrica de Schwarzschild se escribe como una suma de cuadrados, con un signo menos en el término de tiempo (por lo que no se parece mucho a Pitágoras). Deje ds ser una distancia en el espacio local. Ahora no hay cambio espacial excepto en la dirección radial, por lo que dl sea el componente de ds con alineación radial. Ahora dejemos que dr sea ​​el radio de coordenadas r = C / 2π , en otras palabras, un espacio “plano” superpuesto en el espacio gravitacional. Ahora necesita dos veces, dtau o dτ para el tiempo en el espacio local, y dt para el tiempo de coordenadas que puede tomar en el infinito. El objetivo es encontrar una relación entre las cantidades medidas locales y las cantidades de coordenadas. Si los objetos en el espacio local (ni el marco de referencia local en sí) no se mueven muy rápido, entonces podemos ignorar la fórmula de Lorentz, entonces usted tiene:

dτ = (1–2GM / rc²) ^ (- 1/2) dt

dl = dr / (1–2GM / rc²) ^ (- 1/2)

Donde ^ (- 1/2) significa invertido y enraizado.

Puedes ver que en estas coordenadas, el espacio se expande tanto como el tiempo se dilata. Excepto que todo lo que realmente sabe es que hay más unidades de longitud radial en un círculo (o esfera) dibujado con la masa gravitante en su centro. En realidad, no sabes si el espacio se expandió o las longitudes radiales se contrajeron (como en la relatividad especial).

Si realmente va a calcular con estos, solo necesita usar las fórmulas precisas cuando r está cerca de 2GM / c² . De lo contrario, puede usar la aproximación. Donde x << 1 tenemos 1 / (1-x) ~ = 1 + x , y (1 + nx) ^ (1 / n) ~ = 1 + x .

Si se supone que la gravedad se debe completamente al exceso de espacio alrededor de un punto, entonces la medida de la curvatura es que un círculo alrededor de una masa se incrementa por la circunferencia en 2pi G / c². Para la tierra, esto es 2pi * 4.43 mms.

Sí, la fórmula de la métrica de Schwarzschild te dirá esto. No recuerdo los 10 componentes, pero los más importantes tienen el factor [matemática] 1-2GM / r [/ matemática], en particular, esto es [matemática] g_ {00} [/ matemática]. Creo que los componentes fuera de la diagonal son cero. La fórmula para la curvatura se puede aplicar fácilmente.