¿Cuál es la lógica de la multiplicación de masas ([matemáticas] m \ veces M [/ matemáticas]) en la fórmula gravitacional? ¿Por qué no [matemáticas] + [/ matemáticas]?

La respuesta simple es que es la multiplicación de las dos masas en la fórmula de Newton, ya que eso es lo que encontró que funciona y encaja con la observación.

Intenta hacer un experimento mental. Imagine que tiene dos objetos, uno de masa de 1 gm y otro de 1 kg. Ahora imagine cómo se sentirían en la Tierra si la fuerza de la gravedad variara en cuanto a la suma de dos masas (es decir, la masa de la Tierra y la del objeto). Como la Tierra tiene más masa incomparable que cualquiera de esos dos objetos, la fuerza de gravedad que actúa sobre esos dos objetos sería, a todos los efectos, idéntica. Eso significaría que esos dos objetos parecerían pesar lo mismo. Eso se aplicaría a todo objeto que encontramos, pequeño y grande. Claramente, las pirámides no pesan lo mismo que una pluma, por lo que la suma de las masas debe estar equivocada.

Galileo había observado que la velocidad a la que cae un objeto (descuidando la resistencia del aire) es la misma, sin importar cuánto pesara. Si la segunda ley de movimiento de Newton (f = ma) es correcta, y en el caso de una atracción gravitacional, f es simplemente la fuerza de la gravedad, entonces resulta obvio que esto debe variar linealmente con la masa del objeto. La suma de masas simplemente no encaja en eso. El producto de las masas claramente lo hace.

En cuanto a por qué es el producto (en lugar de demostrar que debe serlo), esa es una pregunta bastante profunda. Newton no proporciona una razón por la cual es así; él simplemente dice que debe ser. Si desea una comprensión más profunda, debe ir a la Teoría general de la relatividad de Einstein, donde la gravedad se convierte en un comportamiento emergente de la forma en que la presencia de materia deforma el espacio-tiempo. En esa teoría, la gravedad no es una fuerza fundamental, simplemente se nos manifiesta de esa manera. Ocurre que la teoría de la gravedad de Newton produce predicciones extremadamente precisas en todos los casos, excepto algunos especializados, que no encontraremos en la Tierra. Es este tratamiento geométrico de la deformación del espacio-tiempo lo que conduce al producto de la formulación de masas que Newton propuso a partir de la observación.

¿Por qué las deformaciones masivas espacio-tiempo? Nadie lo sabe. Es justo lo que parece hacer, al menos según la teoría general de la relatividad.

Lo creas o no, todo esto es mucho más fácil si no comienzas con la gravedad, sino que comienzas con electrostática y cargas puntuales.

Esta página la deriva mejor de lo que podría:

Ley de Newton de la gravitación universal

Creo que su confusión aquí proviene del hecho de que la fórmula de gravitación a menudo se describe como “la fuerza entre dos cuerpos”.

No es realmente Elige un cuerpo, no importa cuál. Supongamos que es un punto. No siente una fuerza sobre sí misma generada por sí misma *: en lo que a él respecta, el universo gira a su alrededor.

… y esa es la fuente de confusión. Sería mucho más simple si lo describiéramos como “La fuerza que siente un cuerpo debido al otro cuerpo es F … oh, y por cierto, ambos sienten exactamente la misma cantidad de fuerza”.

Entonces, si solo estamos considerando lo que el otro nos hace, ¿cómo resolvemos esto?

Bien,

[matemáticas] V \ propto \ frac {M} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Esa es la fórmula básica. Esa es en realidad la fuerza del campo. Es proporcional porque hay una constante allí que realmente no nos importa todavía.

Sin embargo, es posible que no lo hayas visto escrito así:

[matemática] V \ propto \ frac {M} {4 \ pi r ^ 2} [/ matemática]

… Porque ese 4 pi generalmente está oculto dentro de la constante G que estas ecuaciones usan normalmente. Lo que esto dice es que la gravedad cae sobre la superficie de una esfera: el área de la superficie de una esfera es [matemática] A = 4 \ pi r ^ 2 [/ matemática].

Imagina una esfera perfectamente redonda. El centro de la esfera es una masa. Ahora infla la esfera. ¿Ves cómo se estira y adelgaza el material? Eso es básicamente lo que hace la fuerza gravitacional causada por esa masa en el medio a medida que te alejas más y más de la masa. La fuerza se extiende sobre la superficie de una esfera cada vez más grande, por lo que se debilita: solo hay menos fuerza para dar la vuelta.

Así que ahora hemos descubierto cuál es el campo gravitacional que M está generando. Agreguemos una constante gravitacional (la llamaremos k, porque como mencioné anteriormente, G oculta los 4 pi dentro de sí misma):

[matemática] V = k \ frac {M} {4 \ pi r ^ 2} [/ matemática]

… y límpialo un poco simplemente deslizando los 4 pi. (Todo es multiplicación / división para que podamos hacer eso).

[matemáticas] V = \ frac {k} {4 \ pi} \ frac {M} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Y hagamos la última parte para que sea familiar:

[matemáticas] G = \ frac {k} {4 \ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] V = \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora sabemos qué campo gravitacional puedes encontrar en un punto del espacio a cierta distancia de una masa. Pero no sabes qué fuerza experimentarías en ese momento.

Necesita masa para crear un campo gravitacional, y necesita masa para sentir un campo gravitacional como una fuerza. Las masas tiran de la cuerda, y también se tiran de la cuerda.

Entonces sabemos que esas masas sentirán una fuerza proporcional a la fuerza del campo y su propia masa. Sabemos que a medida que uno sube, el otro también lo hace, y lo hace linealmente. La fuerza es masa multiplicada por la aceleración es otra forma de expresarlo: el campo acelera aquí.

¿Imaginas que eras tres veces más pesado que ahora? Sentirías una fuerza tres veces más fuerte. La aceleración será la misma, pero la fuerza aumentará.

Entonces, ¿cómo se representa eso? Solo te multiplicas. Y puede sopesar las cosas para demostrar que funciona así. Como balas de cañón. Y plumas. Simplemente déjelos y vea qué tan grandes son los cráteres.

Ahora, puede que se pregunte “parece conveniente que estos valores de masa estén relacionados linealmente”. Sí lo es. Pero no te preocupes, lo haremos más complicado. Es por eso que mantuvimos esa k constante alrededor.

Ese valor de k dice “para una cosa dada con una masa, qué tan fuerte actúa sobre él el campo gravitacional”. Usamos G porque Newton metió el 4 pi en el medio de su constante, pero aún se puede ver dando vueltas en las leyes de Coulomb.

Así que finalmente:

[matemáticas] V = \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas]

[matemática] F = Vm = \ frac {GMm} {r ^ 2} [/ matemática]

… o, si lo prefieres:

[matemáticas] F = G \ frac {Mm} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Espero que ayude 🙂

* No es del todo cierto, pero aún no necesita preocuparse por eso.

La respuesta simple es que desea que la fuerza gravitacional sea proporcional a ambas masas.

Entonces, si duplica el tamaño de la Tierra, la fuerza sobre un peso establecido debería duplicarse. Pero si dejas la Tierra sola pero duplicas la masa de un peso, la fuerza sobre ella debería duplicarse.

Un producto de dos números, por ejemplo, [matemática] M [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática], es proporcional a ambos; si reemplazo [matemática] M [/ matemática] con [matemática] 2M [/ matemática], el resultado se duplica, si en cambio reemplazo [matemática] m [/ matemática] con [matemática] 2m [/ matemática], el resultado aún dobles. Una suma no se comporta de esta manera.

El nombre genérico para este tipo de comportamiento es bilineal : el producto de las dos masas tiene una dependencia lineal de cada una de las masas. (Es decir, si mantiene una masa fija, cualquier cambio en la otra masa dará como resultado un cambio proporcional en su producto).

Creo que esa es una gran pregunta. Nunca pensé esto …
Como muchos otros lectores de ciencias comunes, lo acepté como de costumbre.
Trato de pensarlo desde una perspectiva diferente.

Creo que puede haber algunas razones.
El campo de gravedad es un campo bidimensional en el espacio tan curvado que lo notamos y lo aceptamos como tridimensional.
Cuando calculamos la interacción de una unidad de este campo con todos los campos unitarios del otro campo de gravedad.
Sin embargo, en esta ilustración de mi (también como ves, no soy un buen ilustrador …)

Traté de explicar esto.
Cada unidad de partícula de masa (A) está interactuando con cada unidad de partícula de masa (B) … Y todas las unidades de partículas hacen lo mismo … (Por supuesto, el campo de gravedad no es así, esta figura se parece solo al espacio curvo en 2D desde una vista. El original debería ser una especie de esférico) Supongo que debido a eso se utilizó una multiplicación.

(En mi opinión, traté de explicar antes la cuestión de “crear gravedad artificial”.
La fuerza de gravedad es una interacción total entre las partículas básicas de las masas.
Por ejemplo, cuando mide el peso de un objeto en el levantador, solo obtiene un resultado neto.
Si puede dividir todas las partículas de este objeto para medir por separado, la suma del peso de cada partícula debería ser diferente de la anterior.

Según este punto de vista, si las partículas de las masas están interactuando entre sí por separado, también podemos encontrar una manera de crear una gravedad artificial al afectar a todas las partículas de una masa por separado.

También tengo que agregar que, en mi opinión, la fuerza de gravedad es causada por el campo de baja presión entre objetos más cercanos en un universo súper fluido.

En breve, todos los objetos se mueven en esta textura súper fluida debido a la expansión, por lo que este movimiento hace que cualquier objeto más pequeño que se cierre al grande, intente alcanzar su campo de presión más bajo: el centro del grande.

Esto significa que también la gravedad es causada por la aceleración de las masas en un universo súper fluido con su expansión …)

Muchas buenas respuestas ya publicadas. Así que lo abordaré desde una perspectiva de análisis dimensional.

Consideremos dos objetos de masa my M. Ahora veremos el campo gravitacional producido por M.

La constante gravitacional [matemática] G [/ matemática] tiene unidades [matemática] (metros) ^ 3 / (kg * seg ^ 2) [/ matemática]

[matemática] G / R ^ 2 [/ matemática] tiene unidades [matemática] (metros) / (kg * seg ^ 2) [/ matemática]

[matemática] MG / R ^ 2 [/ matemática] tiene unidades [matemática] (metros) / seg ^ 2 [/ matemática] que representa las unidades de aceleración que experimenta un objeto debido al potencial gravitacional causado por la masa M. (la aceleración es la pendiente del potencial gravitacional)

Por lo tanto, la Fuerza ejercida sobre el objeto de masa m es (F = masa x aceleración), por lo tanto, tenemos que multiplicar por m.

[matemáticas] F = mMG / R ^ 2 [/ matemáticas]

¡Si simplemente agregaras las masas, obtendrías unidades de aceleración, no unidades de Fuerza!

En realidad, esto subraya una formulación matemática más general:

Si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​cantidades variables independientes, y si [math] f (x, y) \ propto x [/ math] con [math] y [/ math] mantenido constante y [matemática] f (x, y) \ propto y [/ matemática] con [matemática] x [/ matemática] constante, luego [matemática] f (x, y) \ propto xy [/ matemática].

Antes de probar esta afirmación, es importante comprender que [matemáticas] F = G \ dfrac {mM} {r ^ 2} [/ matemáticas] define la masa gravitacional. Lo que Newton realmente habría afirmado es que la fuerza de gravedad entre dos objetos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación de sus centros. La cantidad de masa gravitacional se define como una propiedad innata de un cuerpo, que por definición es proporcional a la fuerza de gravedad sobre él. La intuición detrás de esto es la naturaleza aditiva de la masa gravitacional. Es decir, si tenemos una masa puntual [matemática] A [/ matemática] y masas puntuales [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática], el último par es idéntico, entonces si fusionamos [matemática] [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] juntas, entonces la fuerza de gravedad resultante ejercida en su combinación por [matemática] [/ matemática] sería el doble de lo que experimenta [matemática] B [/ math] o [math] C [/ math] solo. Piense en esto como, dos bolas idénticas cuando se toman juntas pesan el doble que una bola individual.

Ahora, para probar la afirmación, primero hagamos la transición [matemática] x \ a k_1x [/ matemática], manteniendo [matemática] y [/ matemática] constante. Esto provoca un cambio [matemática] f \ a k_1f. [/ Matemática] A continuación, hagamos la transición [matemática] y \ a k_2y [/ matemática], manteniendo [matemática] x [/ matemática] constante. Esto hace que [math] f [/ math] varíe como [math] k_1f \ to k_1k_2f [/ math]. Por lo tanto, [math] (x \ to k_1x) _y \ land (y \ to k_2y) _x \ implica f \ to k_1k_2f [/ math], que a su vez implica [math] f \ propto xy [/ math].

Creo que deberías darle la vuelta y preguntar, “¿por qué sería más”? La verdadera prueba de la lógica está en la experimentación, y la experimentación (no solo el experimento de Cavendish – Wikipedia sino también las observaciones astronómicas, incluidas las leyes de Kepler del movimiento planetario – Wikipedia) muestra que se multiplican.

Descubrir esto fue uno de los grandes logros que Newton logró en su libro más famoso, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica – Wikipedia

La fuerza de la aceleración gravitacional crece linealmente con la masa del cuerpo que atrae, ya que la gravedad se combina de forma aditiva. Ahora Einstein sabía que la gravedad era una aceleración que actúa de manera uniforme en todos los cuerpos, independientemente de su masa, pero Newton antes que él expresó todas las acciones como fuerzas, es decir, la masa x la aceleración, de ahí la intrusión de la segunda masa en la ecuación, y por qué se multiplica, no se agrega – para mantener la aceleración constante a medida que crece la masa del cuerpo acelerado.

Considera hacer kite en la playa.

Si la fuerza del viento se duplica, la fuerza en las líneas también se duplica.

Si duplica el área de superficie de su cometa, nuevamente la fuerza en las líneas se duplica.

Si ahora se duplica la fuerza del viento, así como el área de la superficie de su cometa, la fuerza en sus líneas aumenta con el factor cuatro.

La atracción gravitacional entre 2 objetos, de masa gravitacional M y m, es directamente proporcional a M y m. Mover cualquiera de ellos duplica la fuerza, triplicando cualquiera de ellos triplica la fuerza, etc.

Suponga que [matemática] F = \ frac {(M + m) G} {r ^ 2} [/ matemática] con M = m = G = r = 1. La fuerza es 2.

Divida m en 4 partes iguales. La fuerza en cada uno es 5/4. La fuerza total es 4 * (5/4) = 5. La fuerza es mayor por un factor de 2.5.

Conecte las 4 masas iguales juntas por hilos cortos. La fuerza total sigue siendo 5. Acortar los hilos. ¿En qué punto deberían considerarse una sola masa, nuevamente, con una fuerza total de 2?

Considere una masa m a una distancia establecida de una masa igual, y la fuerza entre los dos es F, pero no conocemos la fórmula. Podría ir con m + m, o mxm, o alguna otra cosa.

Ahora agregamos otra m a una de las masas y notamos que la fuerza se ha duplicado. Eso no funcionaría con M + m, donde esperaríamos que la fuerza fuera 1.5F, pero sí con M xm, que predice 2F.

Nuestras medidas se ajustan a la fórmula mx M, pero no se ajustan a la fórmula M + m.

Deberíamos esperar eso, ya que duplicar la masa de uno de los objetos parecería intuitivamente probable que se duplique por la fuerza gravitacional que ejerce sobre el otro objeto. Pero la intuición no siempre es correcta, por lo que debemos haberla medido para saber.

Para equilibrar las unidades.

En cualquier ecuación física, las unidades tienen que ser iguales en ambos lados de la ecuación.

Puede multiplicar tantas unidades diferentes como desee, pero solo puede agregar elementos de la misma unidad.

(Masa1 x Masa2) tiene dimensiones de Masa al cuadrado.

(Mass1 + Mass2) tiene dimensiones de Mass.

(Masa1 x Velocidad1) también conocido como momento tiene dimensiones de masa X distancia x 1 / tiempo o para cuantificar las unidades, kg m / s.

(Mass1 + Velocity1) no tiene ningún significado. No se puede agregar una masa a una velocidad.

La gravedad es un campo radiante.

La M irradia campo hacia afuera, la intensidad del campo es proporcional a M, y el producto de la intensidad del campo y la superficie de la esfera es constante, por lo que tenemos M / R ^ 2.

El campo es un campo de aceleración, y la fuerza que siente una masa m es proporcional a la masa m y al campo. Entonces tenemos ma = Mm / R².

La G es aparentemente constante.