Editar 19/10/2015. La pregunta original era “¿Por qué la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia?” Ahora, aquí está mi respuesta original con algunas modificaciones hechas para mayor claridad:
La pregunta necesita una pequeña aclaración porque no todas las fuerzas siguen una ley del cuadrado inverso (supongo que el OP lo sabe pero no todos los lectores lo harán). La gravedad tiene una ley del cuadrado inverso (en la aproximación newtoniana) y la fuerza electrostática también. Pero una fuerza de resorte mecánica es proporcional a la distancia (a una primera aproximación). Entonces, son algunas de las fuerzas fundamentales que siguen una ley del cuadrado inverso (en el caso ‘estático’).
En el espacio libre, los potenciales de gravedad y electrostáticos (el potencial no la fuerza en sí) satisfacen lo que se llama la ecuación de Laplace. Para tales tipos de fuerza, el flujo de fuerza a través de cualquier superficie cerrada es la masa neta (carga por fuerza electrostática) dentro de la superficie (dentro de una constante de proporcionalidad que depende de las unidades). La conclusión es que si hay una masa en algún punto, entonces el flujo a través de cualquier esfera con la masa en el centro es el mismo. Sin embargo, dado que el área de superficie en 3 dimensiones es proporcional al cuadrado del radio, la fuerza debe ser inversamente proporcional a la distancia o radio (para mantener constante el flujo),
- ¿Puede un vehículo ser propulsado por gravedad?
- ¿Cuál es la diferencia fundamental entre magnetismo y gravedad?
- ¿Cuál es la topología de un agujero negro, un cilindro, una esfera u otra cosa?
- ¿Qué es lo que hace que algunas fuerzas como la gravedad y EM alcancen infinito, mientras que otras son de corto alcance?
- ¿Qué tan exacto es lanzar una honda a un objeto alrededor del campo gravitacional de un planeta?
Se pueden hacer varias observaciones. Primero, lo anterior no es una prueba de que las fuerzas en cuestión deben ser inversas al cuadrado. Simplemente dice que si las fuerzas tienen potenciales que satisfacen la ecuación de Laplace, la fuerza debe ser inversa al cuadrado en 3d. ¿Por qué es válida la ecuación de flujo (fórmula de Gauss)? Es decir, ¿por qué el flujo es una cantidad conservada? Si observa la luz que se extiende desde una fuente, se sigue una ley de intensidad de la inversa del cuadrado: en este caso, la energía se conserva y, por lo tanto, la intensidad o energía por unidad de área debe ser inversamente proporcional al área, es decir, la intensidad es la inversa del cuadrado. Pero, ¿por qué se sigue esta ley de conservación para la gravedad y la electrostática? Esta es una buena pregunta. Una suposición obvia muy razonable es que se está conservando algo, pero ¿qué? La pregunta solicita una prueba matemática, pero dicha prueba no es posible sin asumir que algo se conserva como premisa.
En dos dimensiones, si se le da una carga lineal, la ley no es un cuadrado inverso sino una ley inversa simple (electrostática, gravedad, luz). Presumiblemente, en cuatro dimensiones sería un cubo inverso. Aún queda la pregunta de qué flujo se conserva para la gravedad y la electrostática. El siguiente enlace sugiere que en el caso electrostático hay conservación de fotones virtuales: ¿Por qué se explican tantas fuerzas usando cuadrados inversos cuando el espacio es tridimensional?
Para obtener una prueba matemática de por qué una ley de conservación de flujo está asociada con la ecuación de Laplace, visite el siguiente enlace de Wikipedia: La ecuación de Laplace. Dada la conservación del flujo, el enlace muestra por qué se satisface la ecuación de Laplace y por qué la fuerza es el cuadrado inverso en 3d.
Es interesante que las órbitas alrededor de una fuerza central estén cerradas solo para un número limitado de leyes de fuerza. Hay un resultado llamado teorema de Bertrand que dice que las únicas leyes de fuerza para las que hay órbitas cerradas son la ley proporcional (ley de Hooke o la fuerza de resorte simple) y la ley del cuadrado inverso de, por ejemplo, la gravedad. En estos casos, las órbitas cerradas son elipses. Si el espacio fuera 4 D y la gravedad siguiera una ley del cubo inverso, las órbitas planetarias unidas no estarían cerradas y, por lo tanto, no serían elipses. Mi fuente para el teorema de Bertrand es el clásico texto de posgrado de American Classical Mechanics, 2 ed. por Herbert Goldstein. Wikipedia también tiene una página en: Teorema de Bertrand.
