¿Se puede probar la Ley de Gauss?

Si te refieres a la ley de Gauss del electromagnetismo, entonces, bueno, no puedes “probar” ninguna ley física; simplemente puede recopilar evidencia de que es verdad, o puede derivarla de leyes “más fundamentales”.

La ley de Gauss y la ley de Coulomb (que es equivalente en el régimen electrostático) se han probado de manera extremadamente precisa mediante experimentos y nunca se han encontrado desviaciones en el régimen de validez de la electrodinámica clásica. [1] Por ejemplo, un resultado debido a Crandall [2] [3] muestra que cualquier desviación del exponente en la ley de Coulomb, [matemáticas] F \ propto r ^ {- 2+ \ epsilon} [/ matemáticas], debe tener [matemáticas] \ epsilon <6 \ veces 10 ^ {- 17} [/ matemáticas]. Esta prueba extremadamente precisa de la ley de Coulomb también sirve como una prueba extremadamente precisa de la ley de Gauss.

Puedes deducir la ley de Gauss si asumes la densidad electromagnética de Lagrangia,
[matemáticas] \ matemáticas {L} = \ frac {1} {2} (E ^ 2 – B ^ 2) – \ rho V + \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {A} [/ matemáticas]
Efectuar la variación da el resultado deseado.

En el caso de la ley de Gauss para el magnetismo, si se violara, implicaría la existencia de monopolos magnéticos. Parece ser el consenso de que nunca se han detectado monopolos magnéticos, por lo que la ley de Gauss para el magnetismo parece estar en terreno sólido experimentalmente. En el formalismo lagrangiano con potenciales, se obtiene la ley de Gauss para el magnetismo “gratis”: se convierte en una identidad matemática. Por lo tanto, las pruebas experimentales de la ley de Gauss para el magnetismo se convierten en pruebas experimentales de la validez de la formulación potencial de la electrodinámica.

La ley de Gauss para la gravedad puede derivarse de la ley de gravitación de Newton. Escribe la ley de Newton:
[math] \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = -G \ int \ rho (\ mathbf {r} ‘) \ frac {\ mathbf {r} – \ mathbf {r}’} {\ | \ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘\ | ^ 3} \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}’ [/ math]
luego toma la divergencia de ambos lados,
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -G \ int \ rho (\ mathbf {r} ‘) \ nabla \ cdot \ frac {\ mathbf {r} – \ mathbf {r}’} {\ | \ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘\ | ^ 3} \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r}’ [/ math]
[matemática] = -G \ int 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r} – \ mathbf {r} ‘) \ rho (\ mathbf {r}’) \, \ mathrm {d} ^ 3 \ mathbf {r }[/matemáticas]
[matemáticas] = -4 \ pi G \ rho [/ matemáticas]
La ley de Gauss para la gravedad también puede derivarse de la relatividad general en el llamado “límite newtoniano”, en el que el sistema es casi estático, toda la materia es no relativista [4] y las densidades de energía son bajas. En estas condiciones, podemos mostrar [5] que las partículas que viajan a lo largo de la geodésica se comportan como si estuvieran bajo la influencia de un potencial gravitacional newtoniano que satisface
[matemáticas] \ nabla ^ 2 \ Phi = \ frac {4 \ pi G} {c ^ 2} T_ {00} [/ matemáticas]
Identificar [matemáticas] T_ {00} / c ^ 2 [/ matemáticas] con la densidad de masa da la ecuación de Poisson para la gravedad. Identificar [math] \ mathbf {g} = – \ nabla \ Phi [/ math] luego da la ley de Gauss.

La relatividad general ha sido probada con gran precisión. Se ha probado una variedad de predicciones diferentes de la relatividad general; es una teoría muy rica. Puedes encontrar un resumen aquí.

Cada instancia de la ley de Gauss tiene una forma integral correspondiente, que se relaciona con ella a través del teorema de Gauss-Ostrogradsky
[matemáticas] \ int _ {\ parcial V} \ mathbf {f} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {a} = \ int_V \ nabla \ cdot \ mathbf {f} \, \ mathrm {d} ^ 3 x [ /matemáticas]

Por ejemplo, aplicar esto a la ley de Gauss para rendimientos de electricidad
[matemáticas] \ int _ {\ parcial V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {a} = \ int_V \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ mathrm {d} ^ 3 x [ /matemáticas]
[math] = \ frac {1} {\ epsilon_0} \ int_V \ rho \, \ mathrm {d} ^ 3 x [/ math]
[matemáticas] = \ frac {Q} {\ epsilon_0} [/ matemáticas]
que es la forma integral de la ley de Gauss. El teorema de Gauss-Ostrogradsky en sí mismo es un caso especial del teorema de Stokes y se demuestra más fácilmente como tal: dado el volumen [matemática] V [/ matemática] y un campo vectorial [matemática] \ mathbf {f} = (f_x, f_y, f_z) [/ math],
[matemáticas] \ int _ {\ parcial V} \ mathbf {f} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {a} [/ math]
[matemáticas] = \ int _ {\ parcial V} f_x \, ​​\ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z + f_y \, \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x + f_z \, \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y [/ math]
[math] = \ int_V \ mathrm {d} (f_x \, ​​\ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z + f_y \, \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x + f_z \ , \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y) [/ math]
[math] = \ int_V \ left [\ frac {\ partial f_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial f_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial f_z} {\ partial z} \ right] \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z [/ math]
[math] = \ int_V \ nabla \ cdot \ mathbf {f} \, \ mathrm {d} ^ 3 x [/ math]

[1] Al igual que otras leyes físicas, la ley de Gauss tiene un régimen de validez limitado. No funciona tan bien una vez que llega al punto en que la incertidumbre cuántica en el campo eléctrico es significativa, como cuando colisionan electrones a alta energía.
[2] Crandall, RE Am. J. Phys., 51 (8): 698-702 (1983). Encuentre una copia aquí: Experimento masivo de fotones
[3] Esto podría no ser el estado del arte. Puedes intentar buscar resultados más recientes.
[4] Tenga en cuenta que esta condición no solo no se cumple si tenemos una gran cantidad de energía en forma de radiación electromagnética, sino también cuando la energía de interacción electromagnética entre las partículas se vuelve comparable a su masa en reposo. La condición real que necesitamos es que [math] T_ {00} [/ math] es mucho mayor que los otros componentes del tensor de energía de estrés.
[5] La derivación no es trivial, así que consulta un libro de texto de relatividad general.

Si. Primero considere el caso cuando su región tiene la forma de un cubo; Es sencillo probar la afirmación en este caso.

Luego, cuando su región no es un cubo, la región puede subdividirse aproximadamente en pequeños cubos con caras superpuestas. Las integrales de superficie relevantes sobre las caras superpuestas se cancelan, por lo que la suma de las integrales de superficie sobre los cubos es la misma que la integral de superficie sobre la superficie aproximada al cubo. Además, las integrales de volumen son aditivas, por lo que sigue la declaración para la región aproximada al cubo.

Tomar el límite a medida que los cubos se hacen más pequeños demuestra la afirmación general.

En electrostática y magnetostatica es cierto.

Pero en electrodinámica se puede violar; vea mi artículo “El haz gaussiano viola la ley de Gauss” sobre la Academia.