Cómo encontrar la superficie equipotencial de un dipolo

Supongo que lo que está buscando es la superficie equipotencial de un dipolo perfecto.

Supongamos que nuestro humilde dipolo tiene un momento dipolo p y está orientado a lo largo del eje z en el sistema cartesiano 3D.

Su potencial a una distancia r y un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] desde el eje z viene dado por:

[matemáticas] V = p \ cos {\ theta} / {4 \ pi \ epsilon_0r ^ 2} [/ matemáticas]

Para un equipotencial, V es una constante y, por lo tanto, podemos escribir:

[matemáticas] \ cos {\ theta} / r ^ 2 = k [/ matemáticas], donde k es una constante.

Entonces nuestra superficie equipotencial es efectiva, [matemática] r ^ 2 = u \ cos {\ theta} [/ matemática]
(donde u = 1 / k )

Al escribir esto en coordenadas xyz, obtenemos: [matemáticas] (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2} – uz = 0 [/ matemáticas]

Esta es la ecuación de la superficie equipotencial de un dipolo eléctrico. La superficie tendría una forma similar a una pelota de fútbol americano mantenida recta en el plano xy y simétrica respecto al plano xy.

Equipotencial es solo un término elegante que significa voltaje igualado.

Si tiene una carga dipolar como se muestra a continuación,

A la izquierda está el lado negativo, y a la derecha está el lado positivo. Cada círculo concéntrico tiene su propia carga, pero cada círculo individual es equipotencial. La región azul oscura tiene el mismo potencial con respecto a sí misma. Lo mismo ocurre con cualquiera de los otros círculos concéntricos.

El único otro punto donde se puede igualar el voltaje es en el centro, donde hay una cantidad igual de líneas positivas y negativas que produce una diferencia neta de 0 voltios. .

Superficie equipotencial elíptica

Me gusta la analogía de un mapa topológico. ¿Alguna vez has usado un mapa topográfico, como para hacer senderismo en las montañas? Las líneas topográficas son equipotenciales gravitacionales. Es decir, si sigue una línea topográfica, no irá cuesta arriba o cuesta abajo. Del mismo modo, “cuesta abajo” siempre es perpendicular a la línea topográfica: si sueltas una roca en ese punto, esa es la dirección en la que rodará.

Ahora, el mapa topográfico es bidimensional, lo que hace que sea más fácil de visualizar (y posible dibujar). Los equipotenciales de un dipolo eléctrico son superficies en el espacio 3D, muy difíciles de dibujar; Pero es básicamente la misma idea.

¿Eso ayuda?

De la fórmula bien conocida (aquí uso Griffiths (3.102)), tenemos la expresión para el potencial eléctrico fuera de un dipolo puro, centrado en el origen, con el momento dipolar alineado con [math] z [/ math] con magnitud [matemáticas] p [/ matemáticas]:

[matemáticas] V _ {\ mathrm {dip}} (r, \ theta) = \ frac {p \ cos \ theta} {4 \ pi \ epsilon_0 r ^ 2}. [/ math]

Buscamos curvas de constante [math] V _ {\ mathrm {dip}} [/ math]. Llamaré a esta cantidad (con constantes numéricas absorbidas, que no cambian los contornos) simplemente [math] V [/ math]. El resultado se puede resolver (permaneciendo en coordenadas esféricas) como

[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {\ cos \ theta} {V}}. [/ matemáticas]

Las superficies resultantes serían esferas con centros a lo largo de [math] z [/ math] y que pasarían por el origen si no fuera por el factor de raíz cuadrada, que tiende a hacer que las superficies equipotenciales se vean un poco más “esbeltas” o exprimidas cilíndricamente que las esferas. haría. El aplanamiento se debe al hecho de que vivimos en tres dimensiones del espacio, en lugar de solo dos, lo que daría lugar a superficies esféricas equipotenciales. Así es como se ven en nuestro mundo tridimensional:

Las superficies equipotenciales se calculan con superposición de campos, sabemos que el campo cae con el inverso de la ley del cuadrado de la distancia, entonces esas superficies se caracterizan por una relación D / d constante (siendo Ds las distancias a cada polo), la relación igual a 1 es el plano transversal en punto medio (L / 2).

En coordenadas polares con centro en el punto medio y PHI, el ángulo con respecto al segmento L y R = distancia al punto medio del segmento

D ^ 2 = (L / 2) ^ 2 + R ^ 2 + 2 * R * L / 2 * cos PHI y d ^ 2 = (L / 2) ^ 2 + R ^ 2-2 * R * L / 2 * cos PHI

entonces

K = D ^ 2 / d ^ 2 = ((L / 2) ^ 2 + R ^ 2 + 2 * R * L / 2 * cos PHI) / ((L / 2) ^ 2 + R ^ 2-2 * R * L / 2 * cos PHI)

Donde K es la constante que relaciona los campos que provienen de cada polo.

La palabra se describe a sí misma, es decir, equi significa igual o igual y potencial significa la capacidad de producir un cambio y di significa dos y polo para polaridad, por lo que, en otras palabras, la superficie de potencial equi de un dipolo es tal que todos los puntos de esa carrera tendrían capacidad igual e igual para hacer un cambio (en este caso trabajar con una carga de prueba).

Si consideramos la suraza equipotencial como puntos pequeños y dibujamos una línea para que siempre sean perpendiculares a las líneas del campo eléctrico.

Por lo tanto, si tenemos una carga de prueba y la transmitimos a cualquiera de los seguros equipotenciales, sin importar dónde esté la carga de prueba en la superficie equipotencial, siempre se verá afectada de la misma manera.