¿Es la fuerza electromagnética entre los quarks la fuerza que los une?

En cierto sentido, sí, lo es.

Antes de llegar a por qué, como ya mencionaron otros, la fuerza responsable de mantener juntos a los quarks se llama Interacción fuerte: una interacción de rango extremadamente corto que supera más de 100 veces la fuerza electromagnética y actúa intercambiando gluones . Es una de las 4 interacciones fundamentales entre EM, fuerza débil y gravedad, y es la más fuerte de ellas.

Ahora de vuelta a mi respuesta inicial. Tres de las interacciones fundamentales, a saber, el EM, débil y fuerte, están teóricamente unificadas en la Gran teoría unificada. La unificación se produce a niveles de energía extremadamente altos. Sin embargo, nuestra tecnología es demasiado atrasada en términos de consumo de energía para ratificar tales teorías. La única fuerza que sobresale de esta unificación es la gravedad, que es un tema diferente.

Entonces, a pesar de nuestras deficiencias tecnológicas para producir resultados experimentales finales para unificaciones de alta energía, la interacción fuerte parece ser una fuerza fundamental distinta a las energías normales, sin embargo, por naturaleza, es solo una manifestación diferente de la misma entidad, según las teorías unificadas.

Por lo tanto, en este sentido, la respuesta puede ser torcida para ser sí, son la misma fuerza, que parecen ser distintas a bajos niveles de energía.

No. Se llama fuerza nuclear fuerte. El bosón mediador es la partícula de gluón.
Fuerte interacción – Wikipedia

No, es una fuerza más fuerte que eso: la fuerza fuerte. En realidad es más fuerte que la fuerza electro-débil, pero actúa a distancias más cortas.