Cómo demostrar que el campo eléctrico es el negativo del gradiente del potencial

Como sabemos, el potencial en cualquier punto debido a una carga puntual q viene dado por V = kq / r , donde k se conoce como la constante de proporcionalidad cuyo valor es 9 x 10 ^ 9 Nm ^ 2 / C ^ 2 y r es la distancia entre el punto y la carga q.

Ahora tomando el operador del en ambos lados de la ecuación V = kq / r

Entonces podemos probar matemáticamente que el campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial.

Medición de la fuerza en un condensador de placa paralela con una balanza

En una separación constante, puede demostrar la fuerza proporcional al cuadrado de voltaje aplicado, variando la brecha del condensador, puede deducir una relación cuadrada inversa a la fuerza. Pero fuerza = (1/2) QE = (1/2) CVE, entonces E proporcional a V / (separación) y signo del experimento también.

Otra opción es medir una pequeña variación en la fuerza debido al pequeño cambio de voltaje y deducir la pendiente.

El enfoque es imaginar mover una carga del punto A al punto B

Donde hay una diferencia potencial entre los dos puntos. (Más fácil de imaginar en un campo electrostático, pero no tiene por qué ser así)

Si mueve una carga positiva Q a través de esta diferencia de potencial, el trabajo realizado = Q x delta V donde delta V es el cambio en el potencial / PD.

También puede calcular el trabajo realizado utilizando fuerza x distancia. Si elegimos un caso donde el campo eléctrico es uniforme, como entre placas paralelas, esto facilita las matemáticas.

Fuerza en carga = QE (E = fuerza de campo elec)

Trabajo realizado = fuerza x distancia

trabajo realizado = -QEd o -QE (delta x) donde delta x es el cambio de posición)

El signo menos está presente porque la carga Q está siendo empujada al potencial más alto para que se esté trabajando en la carga. Esto significa que el delta x está en la dirección opuesta al movimiento. Si llamamos al movimiento en la dirección x positiva, entonces el campo eléctrico está en la dirección opuesta, por lo que es negativo,

Ahora podemos eqaute los dos métodos para calcular el trabajo realizado

-QE (delta x) = Q delta V (Q puede cancelar)

-E (delta x) = delta V

E == delta V / delta x, es decir, menos el gradiente potencial.

Idea principal: use dos formas de calcular el trabajo realizado. Lo difícil es asegurarse de obtener el signo menos (sin solo hacer trampa e insertarlo porque conoce la respuesta)

Primero comenzamos con las ecuaciones de Maxwell. En DC, las ecuaciones de Maxwell se simplifican considerablemente y terminamos con la ley de Faraday como

rizo de E = 0

Esto significa que el campo eléctrico E parecerá circular o formará bucles.

En segundo lugar, hay una identidad de cálculo vectorial que dice que el rizo del gradiente de una función escalar siempre es cero. Como el rizo de E es cero, esto significa que podemos escribir E como el gradiente de una función escalar. Hacemos esto porque es más fácil resolver problemas para una función escalar que resolver una función vectorial. Llamamos a esta función escalar el potencial eléctrico.

Tercero, el signo negativo es simplemente hacer cumplir nuestra convención de signos donde el campo eléctrico diverge de las cargas positivas y converge en las cargas negativas.

El campo eléctrico se define como el gradiente del potencial. Así que supongo que la forma en que mostrarías eso es ir a un libro de texto y señalar la definición …

¿Quizás se pregunte cómo mostrar que el campo en un escenario particular es el gradiente del potencial en ese escenario? Si es así, debe escribir una expresión para los dos y luego mostrar que uno es el gradiente de la otra. Pero no hay una forma general de hacerlo; El enfoque variará de un escenario a otro.