¿Es posible usar el efecto Doppler para calcular nuestra posición en el universo?

Sí, en relación con otras cosas, pero no una posición absoluta. Por ejemplo, algo que nos permitió saber que el universo se está expandiendo es que las velocidades de las galaxias que se alejan, medidas con el desplazamiento al rojo, son las mismas en todas las direcciones, por lo que el universo no se aleja de un centro, sino que se expande de eso. Medimos distancias y velocidades relativas a nosotros o entre objetos, pero no tenemos un marco de referencia absoluto. El efecto Doppler se usa principalmente para conocer velocidades relativas.

Nuestra posición en el universo está aquí. Según las teorías actuales, no hay lugares especiales en el universo, ni centro, ni marco absoluto. Podemos medir nuestra posición con respecto a cualquier otra cosa en el universo, que es el inverso de su posición con respecto a nosotros. Pero no podemos decir que haya algún lugar especial con el que debamos medir en relación.

No. Los efectos Doppler ordinarios y relativistas dependen de la velocidad relativa pero no de la posición. La observación del efecto Doppler solo no te dice nada sobre la posición.

Podría usar el efecto Doppler para calcular su velocidad relativa con respecto a la radiación de fondo cósmica. Pero eso no te daría una posición absoluta. Simplemente le dirá qué tan rápido se está moviendo en comparación con el promedio cósmico (local).