La respuesta más corta posible es que [matemáticas] E = – \ nabla (V) [/ matemáticas].
Como esto involucra algunas matemáticas de alto nivel, déjame tratar de describir el significado físico de las mismas.
Imagine que se está preparando para una caminata o un recorrido en bicicleta y que necesita la información sobre las pistas que abordará en su camino. Puede dibujar un perfil de altura para su recorrido.
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Como quiere saber qué tan empinada es la pendiente después de hacer, digamos, el primer kilómetro de su viaje, evalúa la pendiente en ese punto. En términos matemáticos, si tiene su perfil de altura dado en función de la distancia desde el principio como [math] h = h (x) [/ math], la derivada de esta función le da la pendiente en función de la distancia desde el comienzo:
[matemáticas] pendiente (x) = \ frac {dh (x)} {dx} [/ matemáticas]
En esta analogía, la altura [matemática] h [/ matemática] corresponde al valor del potencial electrostático [matemático] V [/ matemático], y la pendiente corresponde al valor del campo eléctrico [matemático] E [/ matemático]. Entonces, así como deriva la pendiente del perfil de altura, deriva el campo eléctrico del potencial electrostático:
[matemáticas] E (x) = – \ frac {dV (x)} {dx} [/ matemáticas]
El signo menos está ahí debido a la convención de que el campo eléctrico apunta en la dirección hacia el potencial más bajo.
Hasta ahora, limitamos la discusión a una dimensión (a lo largo del camino del trekking / tour en bicicleta). Generalmente, en el espacio tridimensional, cada punto con coordenadas [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] tiene su valor de potencial electrostático [matemáticas] V (x, y, z) [/ matemáticas].
Imagina que eres una partícula cargada en algún lugar de un campo tan eléctrico. Miras en todas las direcciones y encuentras la dirección en la que el potencial electrostático aumenta más rápidamente. La dirección opuesta a esto es la dirección del campo eléctrico en su punto de vista. La “pendiente” del aumento del potencial electrostático es una medida del campo eléctrico. Entonces, conociendo la función del potencial electrostático alrededor de su punto de vista, deriva la dirección y la intensidad del campo eléctrico en su punto de vista. Y esto es exactamente lo que implica la ecuación [matemáticas] E = – \ nabla (V) [/ matemáticas].
Si eres una partícula cargada positivamente, el campo eléctrico te moverá en su dirección (al potencial más bajo) y si eres una partícula cargada negativamente, serás atraído en la dirección opuesta (al potencial más alto).
