¿Qué pasa con el espacio-tiempo dentro de un planeta?

En el sentido newtoniano, sí, las fuerzas de gravedad aproximadamente (siempre hay algunas inhomogenidades) se cancelan, por lo que no hay gravedad. Y los planetas no tienen grandes densidades, por lo tanto, para una buena aproximación, puede decir que no pasa nada especial con el espacio-tiempo allí.

Ahora, si quieres ir a una mejor precisión, entonces debes usar la Relatividad General, y esto dice que la geometría del espacio-tiempo se ve afectada por la materia y la energía. El espacio-tiempo está ligeramente distorsionado dentro del planeta, en comparación con el espacio vacío.

El espacio-tiempo no es más grande dentro de un planeta. El espacio-tiempo está distorsionado por la masa, muestra esta distorsión como la gravedad. La masa en el centro del planeta sigue siendo la misma y la distorsión del espacio-tiempo sigue siendo la misma. No podemos detectar la distorsión como otra cosa que no sea la gravedad. Si el centro de la Tierra fuera una esfera hueca, en el centro exacto no tendría peso, pero en cualquier lugar fuera del centro sería llevado a la masa más cercana. Como el centro no es hueco, no hay diferencia.

No estoy exactamente seguro de lo que quiere decir con “más grande dentro de un planeta” (aunque es cierto que en un espacio-tiempo con curvatura positiva, el volumen dentro de una esfera con un área de superficie dada será mayor que el volumen dentro de una esfera con la misma área de superficie en espacio-tiempo plano). De todos modos, la pregunta sobre el espacio-tiempo dentro de un cuerpo celeste es muy legítima. Y, de hecho, hay soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein (como la solución de Tolman-Oppenheimer-Volker mencionada por otros) en presencia de distribuciones esféricamente simétricas de la materia sostenida por la presión.

Un aspecto particularmente interesante y relevante de la relatividad general es el teorema de Birkhoff, una generalización del teorema de la capa de la gravedad newtoniana: es decir, si se encuentra dentro de una capa de materia esféricamente simétrica, la gravedad de la capa se cancela exactamente. Esto es cierto en la teoría de Newton, pero quizás sorprendentemente, también es cierto en la relatividad general: si la Tierra fuera hueca, entonces dentro de la Tierra, en la cavidad central, el espacio-tiempo sería plano sin curvatura ni gravedad. Por el contrario, si está fuera de una distribución esférica simétrica de la materia, su gravedad será la misma que si toda esa materia estuviera concentrada en un punto en el centro; Esto también es cierto tanto en la teoría de Newton como en la de Einstein.

Con estos hechos a mano, si sabe cómo cambia la densidad del planeta con la profundidad, y si su presión es insignificante (en el sentido relativista; es decir, la energía almacenada en forma de presión es insignificante en comparación con la energía en el forma de masa en reposo) su campo gravitacional se puede reconstruir con relativa facilidad. La receta es esta: a cualquier profundidad dada, simplemente deseche la materia afuera (el caparazón), y concentre la materia adentro a un punto; luego calcule su campo gravitacional.

El potencial gravitacional newtoniano en el radio [matemática] r [/ matemática] desde el centro será el habitual [matemática] GM (r) / r [/ matemática] donde [matemática] M (r) [/ matemática] es la masa dentro del radio dado. En la forma relativista, la métrica (por lo tanto, la curvatura) se desviará de la curvatura plana del espacio-tiempo a la melodía de [math] 2GM / c ^ 2r [/ math], que es un número bastante pequeño (en el caso de la Tierra , [matemáticas] 1.4 \ por 10 ^ {- 9} [/ matemáticas] en la superficie, menos en el interior).

Este enfoque funciona incluso cuando el cuerpo no es perfectamente simétrico esféricamente, ya que las pequeñas derivaciones de la simétrica esférica se pueden manejar como perturbaciones (armónicos esféricos) de la solución esféricamente simétrica.

Esa es una excelente pregunta. Se podría decir que en el centro de cualquier planeta, las fuerzas gravitacionales efectivas se cancelan ya que hay una masa igual en todas las direcciones. Gravedad cero.

Dado que la gravedad es lo que hace que las cosas tengan peso, ¿me siguen hasta ahora? Entonces un objeto en el centro exacto de la Tierra no tendría peso. Y suponiendo que no haya agitación de magma, entonces no sentiría movimiento. Está “en reposo”. Extremadamente caliente seguro. Muy denso de hecho (menos espacio entre las moléculas). Pero en reposo. Flotaría si no estuviera rodeado por todos lados.

La masa de un planeta es finita, y también lo es su deformación gravitacional del espacio-tiempo.

El espacio-tiempo no es ‘más grande’ en el centro, solo está más deformado en sí mismo, los relojes funcionan un poco más lento allí.

En el centro de un planeta, la gravedad neta es cero porque la gravedad de toda la masa circundante se cancela. Pero no confundas esto con ‘presión’. Si estuvieras sentado en el centro de la Tierra, la gravedad sería cero, te sentirías ingrávido, pero aún así te aplastaría la inmensa presión de todo lo que está encima de ti.

La vista simple es que en el centro donde se cancela la gravedad, el espacio-tiempo sería localmente plano. Pero para llegar a otro lado, debe escalar un pozo de gravedad de dificultad creciente y, por lo tanto, esto se reflejaría en la forma de la curvatura del espacio-tiempo.