Factores que influyen en la respuesta:
- Qué tan rápido gira el ventilador
- Física del movimiento de la partícula.
- Área de las aspas del ventilador
- Espesor de las aspas del ventilador
- Forma de las aspas del ventilador
- Ángulo de inclinación de las aspas del ventilador.
- Distribución de probabilidad de la trayectoria de la partícula.
Primero notamos que la única aleatoriedad está en la trayectoria de la partícula. Podríamos, por ejemplo, asumir que el movimiento siempre es exactamente perpendicular al plano del ventilador y que solo el punto de liberación es aleatorio. Podemos suponer además que el punto de liberación se distribuye uniformemente sobre el círculo atravesado por las cuchillas giratorias. Supongo que esto es lo que tienes en mente, así que eso es lo que asumiré mientras dure.
Para una primera aproximación, podemos suponer que las aspas del ventilador tienen un espesor cero (tal como suponemos que la partícula tiene un tamaño cero) y que las aspas no están inclinadas en absoluto. En este caso, si la partícula no golpea una cuchilla en el instante exacto en que está en el plano de rotación de las cuchillas, no golpeará en absoluto. Por lo tanto, la velocidad de las cuchillas no importa ni su forma. La aceleración de la partícula tampoco importa. Entonces la respuesta es bastante simple. La probabilidad de un golpe es solo la proporción del área cubierta por las aspas del ventilador en comparación con el área total del círculo atravesado por las aspas giratorias.
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Si las aspas no tienen grosor y están inclinadas, se vuelve más complicado porque la partícula podría tener la posibilidad de golpear cualquier lado de la aspa del ventilador (dependiendo de la velocidad en que se mueva y la velocidad y la forma del ventilador). El extremo de inclinación cero que acabamos de considerar. ¿Qué pasa con una inclinación de 90 grados (que es otro caso extremo)? Para facilitar la vida, supongamos que las aspas del ventilador son rectángulos con ancho, h m / seg . La partícula se golpeará si, mientras está en el “cilindro” de altura h metros excavados por las cuchillas, una cuchilla pasa a través de ella en su posición. Las cuchillas giran a una velocidad constante [matemática] \ omega [/ matemática] radianes por segundo. Supongamos también que la partícula se mueve con una velocidad constante v mientras pasa a través del “cilindro”, de modo que el tiempo que tarda en atravesar el grosor del cilindro es h / v segundos. Por lo tanto, el ventilador gira un total de [math] \ frac {\ omega h} v [/ math] radianes en el momento en que la partícula está “en peligro”. Dado que la partícula es igualmente probable que se mueva en una posición que es igualmente probable que se encuentre en cualquiera de las posiciones angulares [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas], la probabilidad es solo [matemáticas] \ frac {\ omega h} { 2 \ pi v} [/ matemáticas].
El problema se vuelve más complicado a partir de aquí. Si la inclinación es algún otro ángulo, es posible que la partícula golpee la “parte superior” o la “parte inferior” de la cuchilla dependiendo de las velocidades relativas. Si las cuchillas tienen otra forma que no sea rectangular, aún es más difícil. Una vez que las cuchillas obtienen un grosor distinto de cero, es aún más difícil (ya que la partícula puede golpear la parte superior, la inferior o los lados). Y lo peor de todo, una vez que permite que la partícula se mueva a una velocidad no constante, es muy difícil porque la fuerza del viento que actúa sobre la partícula varía periódicamente con el movimiento de las palas. En algún momento, tiene mucho más sentido construir un simulador para estimar la probabilidad que calcularlo.
