¿Hay geometrías que solo existen en un gran número de dimensiones (digamos 20) pero que no se pueden representar en 3? Si no, ¿no podemos encontrarlos?

No estoy seguro de lo que quiere decir con geometrías (plural), pero ya tenemos un ejemplo bastante simple de que compara el espacio 3D con 2D, qué cosas cambian al pasar de 2D a 3D, obviamente, el objeto 3D no existe en 2D y, por lo tanto, hay objetos adicionales en digamos 4D que tienen lado 3D, un hipecubo tiene cubo en cada lado. Las cosas se pueden conectar de una manera mucho más complicada en 3D que en 2D sin que se crucen las conexiones, lo que ha llevado a las personas a especular sobre seres hiperdimensionales hiperdimensionales cuyos cerebros tienen neuronas conectadas en formas 4D que no podrían suceder en un cerebro 3D. Los objetos se volverían mucho más masivos con un aumento de tamaño, si duplica el tamaño de un objeto 3D su volumen y, por lo tanto, la masa aumenta 2 ^ 3 veces (8 veces), en 4d eso sería un aumento de 16 veces, en 5d, 32 veces Se ha escrito mucho sobre cómo las criaturas 2D serían limitadas, si tienen un mes y un ano se caerían a la mitad a menos que haya algún tipo de mecanismo de cremallera que conecte las paradas, por lo que en 4D habría arreglos que solo funcionarían en 4D pero se desmoronaría en 3D.