Solo la edad del Universo no es suficiente. De hecho, ¡ni siquiera se usa directamente! Necesitas conocer la composición del Universo y su tasa de expansión actual. Luego, puede usar las ecuaciones de Friedmann para calcular la “distancia de recorrido recorrida por la luz” desde el Big Bang (es decir, el radio del Universo observable). Cálculos similares también pueden dar el tiempo transcurrido desde el Big Bang (edad del Universo).
Para ser más específicos: dejemos que [math] \ chi [/ math] sea como la distancia recorrida (la distancia “comoving” es la distancia entre dos puntos hoy en día ; así, mientras que la distancia física entre dos puntos puede aumentar a medida que el espacio se expande, su distancia comoving no). También deje que [math] a [/ math] sea el factor de escala, que es 1 en la actualidad por definición. Por lo tanto, tenemos, para un haz de luz móvil,
[matemáticas] \ displaystyle \ mathrm {d} \ chi = \ frac {c \, \ mathrm {d} t} {a} = \ frac {c \, \ mathrm {d} a} {a \ dot a}. [/matemáticas]
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La constante de Hubble es [matemáticas] H = \ dot a / a [/ matemáticas], y entonces tenemos
[math] \ mathrm {d} \ chi = \ frac {c \, \ mathrm {d} a} {a ^ 2 H}. [/ math]
La constante de Hubble cambia con el factor de escala según las ecuaciones de Friedmann, que en este caso dan
[matemáticas] H (a) = H_0 \ sqrt {\ Omega_m a ^ {- 3} + \ Omega_ \ Lambda + \ Omega_k a ^ {- 2} + \ Omega_r a ^ {- 4}} [/ math]
donde [math] H_0 [/ math] es la constante actual de Hubble y los valores [math] \ Omega [/ math] se relacionan con la cantidad de materia, energía oscura, curvatura y radiación actualmente presente en el Universo (en unidades de “densidad crítica”, como se explica en el artículo de Wiki para las ecuaciones de Friedmann).
Entonces, el radio del Universo observable está dado (más o menos) por
[matemáticas] \ displaystyle \ chi = \ frac {c} {H_0} \ int_0 ^ 1 \ frac {\ mathrm {d} a} {a ^ 2 \ sqrt {\ Omega_m a ^ {- 3} + \ Omega_ \ Lambda + \ Omega_k a ^ {- 2} + \ Omega_r a ^ {- 4}}}. [/ Math]
Al conectar valores aproximados, obtengo unos 14 Gigaparsecs, o aproximadamente 46 mil millones de años luz.
Para calcular el tiempo, harías
[matemáticas] \ begin {align *} T & = \ int \ mathrm {d} t \\ & = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ mathrm {d} a} {\ dot a} \\ & = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ mathrm {d} a} {aH (a)}, \ end {align *} [/ math]
con [matemática] H (a) [/ matemática] definida como anteriormente. Esto me está dando unos 13.3 mil millones de años. Esto es un poco menos que nuestras mejores estimaciones (alrededor de 13.7 mil millones de años), pero no muy lejos, especialmente dado que esto fue aproximado.
